考研高等数学笔记01：函数与极限 绪论

考研高等数学笔记01：函数与极限 绪论

1 绪论

1.1 微积分研究的主要内容

微积分研究的主要内容是：事物运动中的数量变化规律，包括：

\[事物运动中的数量变化规律 \begin{cases} 观察方式\begin{cases}宏观\\微观\end{cases}\\\\ 变化方式\begin{cases}均匀变化\\非均匀变化\end{cases} \end{cases} \]

1.2 微观方式的研究示例

（1）均匀变化：

设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始进行匀速移动，至某时刻\(t_n\)时，该物体的移动距离为\(\Delta s\)

设该物体的移动速度为\(v\)，则有：

\[\tag{1} v = \frac{\Delta s}{t_n - t_0} \]

（2）非均匀变化

设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始进行非匀速移动，至某时刻\(t_i\)时，该物体的移动距离为\(\Delta s\)，时差为\(\Delta t\)

设\(t_0\)时刻至\(t_i\)时刻间该物体的平均移动速度为\(\overline{v_i}\)，则有：

\[\tag{2} \overline{v_i} = \frac{\Delta s}{t_i - t_0} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

设该物体在\(t_i\)时刻的瞬时速度为\(v_i\)，若\({\Delta t}\)的值足够小，则有：

\[\tag{3} v_i \approx \overline{v_i} \approx \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

由极限相关性质，式(3)可进一步写为：

\[v_i = \lim_{t_i \to t_0}{\overline{v_i}} \]

\[\qquad\quad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}} \]

\[\tag{4} \quad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}} \]

\[\tag{5} \quad=\frac{ds}{dt} \]

1.3 宏观方式的研究示例

（1）均匀变化：

设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始，以速度\(v\)进行匀速移动，至某时刻\(t_n\)

设\(t_n\)时刻该物体的移动距离为\(s\)，则有：

\[\tag{6} s = v\cdot (t_n-t_0) \]

（2）非均匀变化

设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始，进行非匀速移动，至某时刻\(t_n\)

设存在\(t_0\)至\(t_n\)间的某时刻\(t_{k-1}\)、\(t_k\)，对应的瞬时速度为\(v_{k-1}\)、\(v_k\)。

若\(t_{k-1}\)与\(t_k\)的时差足够小，则有：

\[\tag{7} v_k \approx v_{k-1} \]

设\(v(\xi_k)\)为 \(v_{k-1}\)与\(v_k\) 间的一近似值，则物体在\(t_{k-1}\)至\(t_k\)间的位移\(\Delta s_k\)可表示为：

\[\tag{8} \Delta s_k \approx v(\xi_k) \cdot \Delta t_k \]

设物体从\(t_0\)时刻至\(t_n\)时刻的总位移为\(s\)，则有：

\[\tag{9} s \approx \sum_{k=1}^n \Delta s_k \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k \]

由极限相关性质可得：

\[\tag{10} \qquad\qquad s=\lim_{\Delta t_k \to 0}{\sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k} \]

\[\tag{11} =\int_{t_0}^{t_n} v(t) dt \]