线性代数笔记16. 矩阵对角化-相似矩阵

16.矩阵对角化-相似矩阵

16.1 相似矩阵

16.1.1 相似矩阵的定义

设存在n阶矩阵A、B，且存在可逆矩阵P，使：

\[\tag{1} P\cdot A\cdot P^{-1}=B \]

则称\(矩阵B是A的相似矩阵\)，或\(矩阵A与矩阵B相似\)。

称\(P\)为\(相似变换矩阵\)

称\(P\cdot A\cdot P^{-1}\)为对矩阵A进行的\(相似变换\)。

16.1.2 相关定理：矩阵A与B相似 \(\Rightarrow\) 矩阵A与B的特征值相同

证明过程如下：

\[设存在相似变换矩阵P，则由矩阵A与B相似可得： \]

\[P\cdot A\cdot P^{-1}=B \]

\[\Rightarrow |P\cdot A\cdot P^{-1}-\lambda \cdot E|=|B-\lambda \cdot E| \]

\[由矩阵可逆的性质得： \]

\[|P\cdot A\cdot P^{-1}- \lambda \cdot P\cdot E \cdot P^{-1}|=|B-\lambda \cdot E| \]

\[|P \cdot P^{-1} \cdot (A-\lambda\cdot E)|=|B-\lambda \cdot E| \]

\[由行列式相关性质得： \]

\[|P\cdot P^{-1}|\cdot|(A-\lambda\cdot E)|=|B-\lambda \cdot E| \]

\[则有：|(A-\lambda\cdot E)|=|(B-\lambda \cdot E)| \]

\[故：矩阵A与B相似 \Rightarrow 矩阵A与B的特征值相同 \]

16.2 矩阵对角化

16.2.1 矩阵对角化的定义

设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P、n阶对角矩阵\(\Lambda\)，若对矩阵A进行相似变换，使矩阵A与矩阵\(\Lambda\)相似，则称矩阵A可对角化为矩阵\(\Lambda\)，即：

\[\tag{2} P\cdot A\cdot P^{-1}=\Lambda \]

16.2.2 矩阵对角化定理1：n阶矩阵A的特征值各不相等\(\Rightarrow\) n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\(\Leftrightarrow\)（n阶矩阵A能进行对角化\(\land\)矩阵P可逆）

由特征值/特征向量的【性质6】可得：n阶矩阵A的特征值各不相等 \(\Rightarrow\) n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。

下面证明：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\(\Leftrightarrow\)（n阶矩阵A能进行对角化\(\land\)矩阵P可逆）

\[ \]

\[ \]

\[ \]

\[设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P（P可逆）、n阶对角矩阵\Lambda，则： \]

\[A能进行对角化 \Leftrightarrow P\cdot A\cdot P^{-1}=\Lambda \]

\[由矩阵可逆的性质，得： \]

\[P\cdot A=P \cdot \Lambda \]

\[即：A \cdot \begin {bmatrix} p_1\\ p_2\\ ...\\ p_n \end {bmatrix} =\Lambda \cdot \begin {bmatrix} p_1\\ p_2\\ ...\\ p_n \end {bmatrix} \]

\[A \cdot \begin {bmatrix} p_1\\ p_2\\ ...\\ p_n \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{11}\\ & \lambda_{22}\\ && \lambda_{33}\\ &&&\lambda_{44}\\ &&&&...\\ &&&&&\lambda_{nn} \end{bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} p_1\\ p_2\\ ...\\ p_n \end {bmatrix} \]

\[A \cdot \begin {bmatrix} p_1\\ p_2\\ ...\\ p_n \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} p_1\\ p_2\\ ...\\ p_n \end {bmatrix} \cdot \lambda_{ii}(i=1,2,3,...,n) \]

\[由特征值/特征向量相关定义可得： \]

\[上式中，P即为矩阵A的特征向量，而\lambda_{ii}即为矩阵A的特征值。 \]

\[由上可得：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\Rightarrow（n阶矩阵A能进行对角化\land矩阵P可逆） \]

\[反之，若相似变换矩阵P可逆，则有：（n阶矩阵A能进行对角化\land矩阵P可逆）\Rightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量 \]

\[即：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\Leftrightarrow（n阶矩阵A能进行对角化\land矩阵P可逆） \]

16.2.3 矩阵对角化定理2：设存在对称矩阵A，且A具有两个特征值\(\lambda_1、\lambda_2\)，两个特征向量\(p_1、p_2\)，则有：\(\lambda_1\neq \lambda_2 \Rightarrow [p_1,p_2]=0\)

16.2.4 矩阵对角化求解示例

设存在以下对称矩阵：

\[A= \begin {bmatrix} 0&-1&1\\ -1&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix} \]

若存在对角矩阵\(\Lambda\)、正交阵\(P\)，使：\(P\cdot A\cdot P^{-1}=\Lambda\)

求此对角矩阵\(\Lambda\)、正交阵\(P\)。

求解过程如下：

\[设对称矩阵A的特征值为\lambda，特征向量为x \]

\[则有：|A-\lambda \cdot E|= \]

\[\begin {vmatrix} -\lambda&-1&1\\ -1&-\lambda&1\\ 1&1&-\lambda \end{vmatrix} \stackrel{r_1 -r_2} \Longrightarrow \begin {vmatrix} 1-\lambda&\lambda-1&0\\ -1&-\lambda&1\\ 1&1&-\lambda \end{vmatrix} \stackrel{c_2 +c_1} \Longrightarrow \begin {vmatrix} 1-\lambda&0&0\\ -1&-(\lambda+1)&1\\ 1&2&-\lambda \end{vmatrix}=0 \]

\[行列式按第1行展开有： \]

\[(1-\lambda)\cdot[\lambda \cdot (\lambda+1)-2] \]

\[=(1-\lambda)\cdot[\lambda^2+\lambda-2] \]

\[=(1-\lambda)\cdot(\lambda-1)(\lambda+2) \]

\[解得：\lambda_1=\lambda_2=1，\lambda_3=-2 \]

\[① 对于\lambda_1=\lambda_2=1，有： \]

\[(A-\lambda \cdot E)= \begin {bmatrix} -1&-1&1\\ -1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{bmatrix} \]

\[对上式进行初等行变换，有： \]

\[(A-\lambda \cdot E)= \begin {bmatrix} -1&-1&1\\ -1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{bmatrix} \stackrel{r_1 - r_2} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&0&0\\ -1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{bmatrix} \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 1&1&-1\\ -1&-1&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \stackrel{r_2 + r_1} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 1&1&-1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

\[则有： (A-\lambda \cdot E)\cdot x= \begin {bmatrix} 1&1&-1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \]

\[由上式得：x_1+x_2-x_3=0 \]

\[则有：\lambda_1对应的基础解系\xi_1= \begin {bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} \cdot k (k \in R,k \neq 0) \]

\[\lambda_2对应的基础解系\xi_2= \begin {bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \cdot k (k \in R,k \neq 0) \]

\[将\xi_1、\xi_2正交化为\eta_1、\eta_2，则有： \]

\[\eta_1=\xi_1= \begin {bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} \]

\[\eta_2=\xi_2-\eta_1 \cdot \frac{[\eta_1,\xi_2]}{[\eta_1,\eta_1]} =\begin {bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}+\frac{1}{2} \cdot \begin {bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin {bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end {bmatrix} \]

\[将\eta_1、\eta_2单位化为p_1、p_2，则有： \]

\[p_1=\frac{\eta_1}{||\eta_1||}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \begin {bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} \]

\[p_2=\frac{\eta_2}{||\eta_2||}=\frac{1}{2} \cdot \begin {bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end {bmatrix} \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \begin {bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end {bmatrix} \]

\[②对于\lambda_3=-2，有： \]

\[(A-\lambda\cdot E) = \begin {bmatrix} 2&-1&1\\ -1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix} \]

\[对上式进行初等行变换，有： \]

\[\begin {bmatrix} 2&-1&1\\ -1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix} \stackrel{r_1 + r_2} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 1&1&2\\ -1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix} \stackrel{r_1 - r_3} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&0&0\\ -1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix} \stackrel{r_3 + r_2} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&0&0\\ -1&2&1\\ 0&3&3 \end{bmatrix} \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&3&3\\ -1&2&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \stackrel{r_2 - \frac{2}{3}r_1} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&3&3\\ -1&0&-1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

\[\stackrel{\frac{1}{3}r_1} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&1&1\\ -1&0&-1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \stackrel{-1r_2} \Longrightarrow \begin {bmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

\[则：(A-\lambda \cdot E)\cdot x= \begin {bmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\cdot \begin {bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \]

\[由上式得： \begin{cases} x_2+x_3=0\\ x_1+x_3=0 \end{cases} \]

\[则\lambda_3对应的基础解系\xi_3可为： \xi_3= \begin {bmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} \]

\[将\xi_3单位化为p_3，有： \]

\[p_3=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\begin {bmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} \]

\[由①②中求解得到的p_1，p_2，p_3可得： \]

\[正交阵P=(p_1,p_2,p_3)= \begin {bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{6}}{6}&-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{6}}{6}&-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \]

\[由矩阵对角化定理1有：A\cdot P= \Lambda \cdot P，且\Lambda为A的特征向量 \]

\[则有： \Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_{1}&0&0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0&0& \lambda_{3}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0& 1&0\\ 0&0& -2\\ \end{bmatrix} \]

\[\eta_2= \frac{1}{2} \cdot \begin {bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end {bmatrix} \]