线性代数笔记14.施密特正交化

14.施密特正交化

14.1 规范正交化

14.1.1 规范正交化的定义

\[设：存在向量空间V(V \subset R^n) \]

\[n维向量A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)是V中的一个基 \]

\[若：V中存在一个规范正交基E=(e_1,e_2,e_3...,e_n)，使A与E等价 \]

\[则：称A可\textbf{规范正交化}为E \]

14.1.2 规范正交化的过程

设：存在向量空间\(V(V \subset R^n)\)

n维向量\(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)是V中的一个基

n维向量\(B=(b_1,b_2,b_3,...,b_n)\)是\(V\)中的一个基，\(B\)中元素两两正交，且\(A\)等价于\(B\)

n维向量\(E=(e_1,e_2,e_3,...e_n)\)是n维向量\(B\)单位化以后得到的规范正交基

则B与A满足以下关系：

\[b_1=a_1， b_2=a_2-b_1 \cdot \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]} \]

\[b_3=a_3-b_1 \cdot \frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot\frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]} \newline \]

\[...... \]

\[\tag{1} b_n=a_n-b_1 \cdot \frac{[b_1,a_n]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot\frac{[b_2,a_n]}{[b_2,b_2]}-...b_{n-1}\cdot\frac{[b_{n-1},a_n]}{[b_{n-1},b_{n-1}]} \]

E与B满足以下关系：

\[e_1=\frac{b_1}{||b_1||} ， e_2=\frac{b_2}{||b_2||} \]

\[...... \]

\[\tag{2} e_n=\frac{b_n}{||b_n||} \]

14.1.3规范正交化示例

设向量空间\(V\)中存在向量\(A=(a_1,a_2,a_3)\)，且：

\[a_1= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{bmatrix}， a_2= \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}， a_3= \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} \]

则对向量A进行规范正交化的过程如下：

设\(V\)中存在向量\(B\)，\(B\)中元素两两正交，且\(B\)等价于\(A\)，则有：

\[b_1=a_1= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{bmatrix} \]

\[b_2=a_2-b_1\cdot \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]} \]

\[\qquad\,\,\, = \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{bmatrix}\cdot \frac{4}{6} \]

\[\qquad\quad = \begin{bmatrix} -\frac{10}{6}\\ \frac{10}{6}\\ \frac{10}{6} \end{bmatrix} = \frac{5}{3}\cdot \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \]

\[b_3=a_3-b_1\cdot \frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]} - b_2\cdot \frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]} \]

\[\qquad\qquad\quad\quad\,\,\, = \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{bmatrix}\cdot \frac{1}{3} - \frac{5}{3}\cdot \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \cdot -\frac{25}{3} \cdot \frac{9}{75} \]

\[\quad = \begin{bmatrix} \frac{11}{3}\\ -\frac{5}{3}\\ \frac{1}{3} \end{bmatrix} + \frac{5}{3}\cdot \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} = 2\cdot \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \]

向量B规范正交化为向量\(E=(e_1,e_2,e_3,...e_n)\)，得：

\[e_1=\frac{b_1}{||b_1||}= a_1= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \]

\[e_2=\frac{b_2}{||b_2||}= \frac{5}{3}\cdot \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{9}{75}} = \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \]

\[e_3=\frac{b_3}{||b_3||} = 2\cdot \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{1}{8}} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}} \]

14.2 正交阵

14.2.1 正交阵的定义

设存在n阶矩阵A，且A满足：

\[\tag{3} A^T \cdot A = E \]

则称A为\(正交阵\)

14.2.2 正交阵与规范正交基

设空间\(V(V \subset R^n)\)上存在某正交阵的行向量\(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)

则有：

\[A \cdot A^T = \begin{bmatrix} a_1{a_1}^T&a_1{a_2}^T&...&a_1{a_n}^T\\ a_2{a_1}^T&a_2{a_2}^T&...&a_2{a_n}^T\\ &&...\\ a_n{a_1}^T&a_n{a_2}^T&...&a_n{a_n}^T \end{bmatrix} = E \]

由单位矩阵性质可知：

\[a_i{a_i}^T=1 （i=1,2,3,...,n）\Rightarrow a_i 是单位向量 \]

\[a_i{a_j}^T=0（i\neq j）\Rightarrow a_i与a_j正交 \]

则由规范正交基性质可知：
行向量A即为V的一个规范正交基（列向量同理，证明过程略），可得：

\[若存在空间V(V \subset R^n)，则： \]

\[\tag{4} n阶正交阵的行向量或列向量可构成V上的一个规范正交基 \]