线性代数13.向量的线性相关性&内积&范数&正交
13.向量的线性相关性&内积&范数&正交
13.1 向量组的线性相关性
13.1.1 定义
对于任意向量组\(A:a_1,a_2,a_3,...,a_n\)，存在不全为0的数\(k_i(i=1,2,3,...,m)\)，使：
\[\tag{1}
\sum_{i=1}^mk_i\cdot a_i=0
\]
则称向量组A是\(线性相关\)的，否则称A是\(线性无关\)的
13.1.2 线性相关示例
- 示例1：
设存在不全为0的数\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量组：
\[a_1=
\begin {bmatrix}
0\\
1
\end {bmatrix}，
a_2=
\begin {bmatrix}
1\\
0
\end {bmatrix}
\]
根据线性相关的定义，可得：
\[k_1\cdot a_1 +k_2\cdot a_2=k_2+k_1\neq0
\]
\[\Rightarrow 向量组a_1,a_2是线性无关的
\]
- 示例2：
设存在不全为0的数\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量组：
\[a_1=
\begin {bmatrix}
1\\
2
\end {bmatrix}，
a_2=
\begin {bmatrix}
2\\
4
\end {bmatrix}
\]
设\(k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=0\)，则有：
\[k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=k_1\cdot
\begin {bmatrix}
1\\
2
\end {bmatrix}
+
k_2 \cdot
\begin {bmatrix}
2\\
4
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
0\\
0
\end {bmatrix}
\]
\[\Leftrightarrow
\begin {cases}
k_1+2k_2=0\\
2k_1+4k_2=0
\end {cases}
\]
\[\Rightarrow 方程存在非0解，如：k_1=2，k_2=-1
\]
\[\Rightarrow 本示例中向量组a_1,a_2为线性相关
\]
13.2 向量组与矩阵的秩
13.2.1 定理
设存在向量组\(：a_1,a_2,a_3,...,a_m\)，且其构成的矩阵为：
\[A=
\begin {bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
...\\
a_m
\end {bmatrix}
\]
则有：
\[\tag{2}
向量组线性相关 \Leftrightarrow R(A)<m
\]
\[\tag{3}
向量组线性无关 \Leftrightarrow R(A)=m
\]
13.2.2 示例：n维单位坐标向量组的线性相关性
设存在n维单位坐标向量组：\(e_1,e_2,e_3,...,e_n\)
则n维单位坐标向量组构成单位矩阵E，由：
\[|E|=1 \Rightarrow |E|\neq0 \Rightarrow R(E)=n
\]
\[\Leftrightarrow n维单位坐标向量组是线性无关的
\]
13.3 向量的内积
13.3.1 内积的定义
设存在以下n维向量：
\[X=
\begin {bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
...\\
x_n
\end {bmatrix}，
Y=
\begin {bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
...\\
y_n
\end {bmatrix}
\]
则有：
\[\tag{4}
[x,y]=X^T \cdot Y =\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i
\]
称\([x,y]为\)向量\(x\)与向量\(y\)的内积。
13.3.2 内积相关性质
向量的内积具有以下性质：
\[\begin {array}{c}
性质1&[x,y]=[y,x]\\\\
性质2&[\lambda x,y]=\lambda \cdot [x,y]\\\\
性质3&[x+y,z]=[x,z]+[y,z]\\\\
性质4&
\begin {cases}
[x,x]=0, x=0 \\
[x,x]>0, x\neq0 \\
\end {cases}\\\\
性质5&柯西不等式：[x,y]^2 \leq [x,x]\cdot[y,y]
\end {array}
\]
13.4 向量的范数
13.4.1 范数的定义
设存在n维向量\(x\)，令：
\[\tag{5}
||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}
\]
则称\(||x||\)为向量\(x的范数（或长度）\)
13.4.2 范数的性质
向量的范数具有以下性质：
\[\begin {array}{c}
(1)非负性： & \begin {cases}||x||=0，x=O \\ ||x||>0，x\neq O\end {cases}\\\\
(2)齐次性：&||\lambda \cdot x||=|\lambda| \cdot ||x||\\\\
(3)三角不等式：& ||x+y|| \leq ||x||+||y||
\end {array}
\]
13.4.3 单位向量的定义
设存在n维向量\(x\)，则有：
\[\tag{6}
||x||=1 \Leftrightarrow x是单位向量
\]
13.5 向量的正交
13.5.1 向量正交的定义
设存在n维向量\(x,y\)
若：
\[\tag {7}
[x,y]=0
\]
则称x与y正交。
- 推论：\(x=O \Rightarrow x与任何向量正交\)
13.5.2 正交与线性相关性的定理
- 定理：
设存在n维非零向量：\(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)，且存在A中的任意元素\(a_i，a_j（a_i\neq a_j）\)，则有：
\[\tag{8}
([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0) \Rightarrow A是线性无关的
\]
- 定理证明：
\[设存在不全为0的数k_1,k_2,k_3,...,k_n，则有：
\]
\[A线性无关 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0
\]
\[则求证命题转化为：([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0)\Rightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0
\]
\[由等式性质得：\sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \cdot a_1^T \neq 0
\]
\[即：k_1 \cdot a_1\cdot a_1^T+k_2 \cdot a_2\cdot a_1^T +k_3 \cdot a_3\cdot a_1^T + ...+k_n \cdot a_n\cdot a_1^T \neq 0
\]
\[则由([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0)可得：
\]
\[k_1\cdot a_1\cdot a_1^T \neq 0 \Rightarrow k_1\cdot ||a_1||^2 \neq 0 \Rightarrow k_1 \neq 0
\]
\[同理可得k_2,k_3,...,k_n均不为0，则有:
\]
\[([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0) \Rightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \Rightarrow A线性无关
\]
13.6 规范正交基
13.6.1 规范正交基的定义
设n维向量\(E=(e_1,e_2,...,e_n)\)是向量空间\(V\)（$V \subset R^n $）中的一个基，若E中向量均是单位向量，且两两正交，则称E是V的一个规范正交基。
13.6.2 规范正交基示例
设存在以下向量\(E=(e_1,e_2,e_3,e_4)\)，其中元素均为单位向量，且两两正交：
\[e_1=
\begin {bmatrix}
\frac 1 {\sqrt 2}\\
\frac 1 {\sqrt 2}\\
0\\
0
\end {bmatrix}，
e_2=
\begin {bmatrix}
\frac 1 {\sqrt 2}\\
-\frac 1 {\sqrt 2}\\
0\\
0
\end {bmatrix}，
e_3=
\begin {bmatrix}
0\\
0\\
\frac 1 {\sqrt 2}\\
\frac 1 {\sqrt 2}
\end {bmatrix}，
e_4=
\begin {bmatrix}
0\\
0\\
\frac 1 {\sqrt 2}\\
-\frac 1 {\sqrt 2}
\end {bmatrix}
\]
则称E=\((e_1,e_2,e_3,e_4)\)是\(R^4\)的一个规范正交基
13.6.3 规范正交基相关性质
若\(E=(e_1,e_2,...,e_n)\)是向量空间\(V（V \subset R^n ）\)中的一个规范正交基，则\(V\)中任一元素均能由E进行线性表示。
如\(a\)是\(V\)中一元素，则\(a\)可表示为：
\[\tag{9}
a=k_1\cdot e_1 + k_2\cdot e_2 + ... +k_n\cdot e_n
\]
- 推论：系数$k_i $的求法
\[由等式及规范正交基相关性质得：
\]
\[a\cdot e_1^T=k_1\cdot e_1 \cdot e_1^T=k_1
\]
\[\tag{10}
同理可得：k_i=a\cdot e_i^T（i=1,2,3,...,n）
\]
浙公网安备 33010602011771号