线性代数10.矩阵的初等变换&矩阵的标准形

10.矩阵的初等变换

10.1 矩阵初等变换的规则

对于任意存在第\(i,j\)两行、或第\(i,j\)两列的矩阵，满足以下初等变换规则：

10.1.1 对调

• 对调\(i,j\)两行，记为：\(r_i \leftrightarrow r_j\)
• 对调\(i,j\)两列，记为：\(c_i \leftrightarrow c_j\)
• 以上运算均可逆

10.1.2 乘以 \(k\) (\(k\in R,\;k \neq 0\))

• 第i行乘以k，记为：\(r_i \times k（k\in R,\;k \neq 0）\)
• 第i列乘以k，记为：\(c_i \times k（k\in R,\;k \neq 0）\)
• 以上运算均可逆

（第j行、第j列同理）

10.1.3 行相加减/列相加减

• 在第\(i\)行之上，加减\(k\)倍第j行，记为：\(r_i \pm k\times r_j\)（\(k\in R,\;k \neq 0\)）
• 在第\(i\)列之上，加减\(k\)倍第j列，记为：\(c_i \pm k\times c_j\)（\(k\in R,\;k \neq 0\)）
  （在第j行、第j列之上加减同理）
• 以上运算均可逆

10.1.4 矩阵等价

设存在矩阵\(A_{mn}, \;B_{mn}\)，并存在可逆矩阵\(P_{mm}，Q_{nn}\)，则由后续内容（方阵可逆性质）可知：

• (\(A\)经过有限次行变换后可变换为\(B\))\(\Rightarrow\) (\(P\times A =B\)) \(\Leftrightarrow A与B行等价\)

• (\(A\)经过有限次列变换后可变换为\(B\)) \(\Rightarrow\) (\(A\times Q =B\)) \(\Leftrightarrow A与B列等价\)

• (\(A\)经过有限次行列变换后可变换为\(B\))\(\Rightarrow\) (\(P\times A \times Q=B\)) \(\Leftrightarrow A与B等价\)

10.1.5 矩阵等价的规则

设存在矩阵\(A, B, C\)，则其满足以下矩阵等价规则：

• 反身性：\(A与A等价\)
• 对称性：\(A与B等价\Rightarrow B与A等价\)
• 传递性：：\((A与B等价)\bigwedge (B与C等价) \Rightarrow A与C等价\)

10.1.6 初等变换示例

设存在以下矩阵：

\[X= \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\\ \end{bmatrix} \]

该矩阵对应一个四元线性方程组，每列分别对应未知数\(x_1,x_2,x_3,x_4\)

现需通过线性变换求解该方程组，首先对\(x_1\)对应列进行消元，过程如下：

\(r_1 \leftrightarrow r_2\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\\ \end{bmatrix} \]

\(r_3 \times \frac {1} {2}\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\\ \end{bmatrix} \]

\(r_2-r_3\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\\ \end{bmatrix} \]

\(r_3-2\times r_1\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\\ \end{bmatrix} \]

\(r_4-3\times r_1\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\\ \end{bmatrix} \]

至此，\(x_1\)对应列已消元完成，继续对\(x_2\)对应列进行消元：

\(r_2 \times \frac 1 2\):

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\\ \end{bmatrix} \]

\(r_3+5\times r_2\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\\ \end{bmatrix} \]

\(r4-3\times r_2\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ \end{bmatrix} \]

至此，\(x_2\)对应列已消元完成，同时\(x_3\)对应列也已消元完成，继续对\(x_4\)对应列进行消元：

\(r_3 \leftrightarrow r_4\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\\ \end{bmatrix} \]

\(r_4-2r_3\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

进一步优化，使4个未知数对应列均为1或-1：

\(r_1-r_2\)：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

进一步优化，消去多余元：

\(r_2-r_3\):

\[\tag{1} X= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

根据以上结果（1）式，可得如下方程组：

\[\begin{cases} x_1-x_3=4\\ x_2-x_3=3\\ x_4=-3 \end{cases} \]

方程组中\(x_3\)出现次数较多，可设\(x_3=c\)（任意常数），则存在如下矩阵\(X'\)表示原线性方程组的解：

\[\tag{2} X'= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+c\\ 3+c\\ c\\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+c\\ 3+c\\ c\\ -3 \end{bmatrix} = c\cdot \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4\\ 3\\ 0\\ -3 \end{bmatrix} \]

10.2 矩阵的标准形

10.2.1 定义

设存在矩阵\(F\)如下：

\[F= \begin{bmatrix} Er&0&...&0\\ 0&0&...&0\\ ...&...&...&...\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \]

矩阵\(F\)中，左上角为一单位矩阵，其余元素均为0，称这样的矩阵为\(矩阵的标准形\)

10.2.2 特性

\[若存在任意m\times n的矩阵，则其经过有限次初等行列变换后总可变换为矩阵的标准形 \]

过程如下：

对10.1.5中矩阵变换结果（1）式继续进行列变换可得：

\(c_3 \leftrightarrow c_4\)，直接扩充左上角单位矩阵：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

\(c_4+c_1+c_2\)，消去\(c_4\)中元素：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

\(c_5-4c_1-3c_2+3c_3\)，消去\(c_5\)中元素：

\[X= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

经过以上变换过程，矩阵X变换成为了矩阵的标准形。