导数的应用

函数的极值与最值

最值

定义函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 的最大值在点 \(c\) 当且仅当 \(\forall x\in D,f(x)\le f(c)\)。同理，\(f(c)\) 在区间 \(D\) 的最小值在点 \(c\) 当且仅当 \(\forall x\in D,f(x)\ge f(c)\)。

函数的最值定理

当函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则在 \([a, b]\) 上 \(f(x)\) 一定存在最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。满足 \(\forall x\in [a, b]，m\le f(x)\le M\)。

极值

称 \(c\) 为 \(f(x)\) 的一个极大值，当且仅当存在包含 \(c\) 开区间 \((a, b)\) 满足 \(c\) 取到这个区间的最大值，即 \(c\) 为 \((a, b)\) 上的最大值点。

极小值的定义同理。

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