导数的应用

函数的极值与最值

最值

定义函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 的最大值在点 \(c\) 当且仅当 \(\forall x\in D,f(x)\le f(c)\)。同理，\(f(c)\) 在区间 \(D\) 的最小值在点 \(c\) 当且仅当 \(\forall x\in D,f(x)\ge f(c)\)。

最大值最小值定理

当函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则在 \([a, b]\) 上 \(f(x)\) 一定存在最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。满足 \(\forall x\in [a, b]，m\le f(x)\le M\)。

极值

称 \(c\) 为 \(f(x)\) 的一个极大值，当且仅当 \(\exists D=(a, b),\ c\in D\)，满足 \(c\) 为 \(f\) 在 \(D\) 上的最大值点。
极小值的定义同理。

费马引理

若 \(f\) 在 \(c\) 处可导，且 \(c\) 为局部极值点，则 \(f'(c)=0\)。

中值定理

罗尔定理 (Rolle's Theorem)

当 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 上可导，且 \(f(a)=f(b)\)。

有 \(\exists c\in (a, b),\ f'(c)=0\)。

证明：

根据最大值最小值定理，记 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的最大值最小值分别可以在 \(c_1, c_2\) 处取到。

1. \(f(c_1)=f(c_2)\)，则有 \(f\) 在 \([a, b]\) 上为常值函数。

2. \(f(c_1)\neq f(c_2)\)，则 \(\exists c=c_1\ \text{or}\ c=c_2,\ c\in (a, b)\)。\(c\) 为开区间内的最值点，则 \(c\) 一定为局部极值点。根据费马引理，\(f'(c)=0\)。

证毕。

拉格朗日中值定理 (Langrange Mean Value Theorem)

当 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 上可导。

有 \(\exists c\in (a, b)\)，\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

证明：

令 \(\displaystyle k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

构造 \(g(x)=f(x)-kx\)。

有 \(g(a)=g(b)\)。

根据罗尔定理，\(\exists c\in (a, b),\ g'(c)=0\)。

\(g'(c)=f'(c)-k,\ f'(c)=k\)。
证毕。

函数图像性质的检验

寻找最值和极值

临界点 (critical point)：\(p\) 是临界点当 \(f'(p)=0\) 或 \(p\) 点不可导。

1. 寻找极值
   
   若极值点存在，极值点一定是临界点。
   对所有临界点观察邻域的性质。可确定极值点。
2. 寻找最值
   
   若最值点存在，且不在区间端点，最值点一定是极值点。
   
   找到所有端点、临界点，比较获得最值。

函数单调性

暂时只关注可导区间的单调性。

不失一般性地讨论单调增。

1. 单调不降
   
   当 \(\forall x\in D,\ f'(x)\ge 0\)，则 \(f\) 在 \(D\) 单调不降。
2. 严格单调递增
   
   当 \(\forall x\in D,\ f'(x)\ge 0\)，且 \(f'(x)=0\) 的点相互孤立，则 \(f\) 在 \(D\) 严格单调递增。
   
   ?
   
   形式化叙述
   
   \(\forall D'\sub D,\ D'=(a,b),\ \exists c\in D',\ f'(c)>0\)。

函数凹凸性

区间 \(D\) 上，

若 \(\forall x_1,x_2\in D,\ \lambda \in (0, 1)\)，有 \(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\ge \lambda f(x)+(1-\lambda)f(x_2)\)，则 \(f\) 为凸函数。

若 \(\forall x_1,x_2\in D,\ \lambda \in (0, 1)\)，有 \(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(x_2)\)，则 \(f\) 为凹函数。

对于一个二阶可导的函数的，若 \(D\) 上恒有 \(f''(x)<0\)，函数为凸，若 \(D\) 上恒有 \(f''(x)>0\)，函数为凹。

拐点

凹凸性发生改变的点。

求拐点的方法：检查那些 \(f''=0\) 或 \(f''\) 不存在的点，找出其中左右凹凸性改变（\(f''\) 异号）的点。