极限与导数

极限

极限的定义

\(\epsilon-\delta\) 定义法：

称 \(\lim_{x\to c}f(x)=k\)，当
\(\forall \epsilon>0，\exists \delta>0\) 满足：\(\forall c-\delta <x<c+\delta(x\neq c), k-\epsilon <f(x)< k+\epsilon\)。

极限的计算

常用结论：

\[\begin{align*} \lim_{x\to c}x=c \\ \lim_{x\to c}k=k \\ \lim_{x\to 0}\sin(x)=0 \\ \lim_{x\to 0}\cos(x)=1 \\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 \end{align*} \]

极限运算法则：

加法：

\(\lim_{x\to c}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x)\)

数乘：

\(\lim_{x\to c}cf(x)=c\lim_{x\to c}f(x)\)

乘法：

\(\lim_{x\to c}f(x)g(x)=\lim_{x\to c}f(x)\times \lim_{x\to c}g(x)\)

除法：

\(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{lim_{x\to c}g(x)}\)，当 \(\lim_{x\to c}g(x) \neq 0\)

幂次：

\(\lim_{x\to c}f^n(x) = [\lim_{x\to c}f(x)]^n\)，当 \(n\) 是一个正数

开根：

\(\lim_{x\to c}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to c}f(x)}\)，当 \(n\) 是一个正数，且存在一个开区间 \(I\)，满足 \(c\in I\)，\(\forall x\in I,\sqrt[n]{f(x)}\) 有定义

能得出的一些结论

幂函数的连续性，多项式函数的连续性
\(\sin(x), \cos(x)\) 的连续性

证明：

\[\begin{align*} \lim_{x\to c}\sin(x) &=\lim_{x\to c}\sin(x-c+c) \\ &=\lim_{x\to c}[\sin(x-c)\cos(c)+\sin(c)\cos(x-c)] \\ &=\lim_{x\to c}[0\times \cos(c)+\sin(c)\times 1] \\ &=\sin(c) \end{align*} \]

补充说明：\(\lim_{x\to 0} \sin(x)=0=\sin(0)\)，\(\lim_{x\to 0}\cos(x)=1=cos(0)\) 说明了 \(x=0\) 时 \(\sin(x),\cos(x)\) 的连续性。

\(\cos(x)\) 同理。

使用 \(\epsilon - \delta\) 定义法证明极限的运算法则

略。

连续

定义

函数 \(f\) 在 \(c\) 处连续：\(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\)

函数在区间 \(I=(l, r)\) 连续，即 \(\forall c\in I\)，\(f(c)\) 连续。

函数在区间 \(I=[l, r]\) 连续，即 \(f\) 在 \((l, r)\) 连续且在 \(l\) 处右连续，在 \(r\) 处左连续。

连续函数的运算和性质

当 \(f, g\) 在 \(c\) 处连续：\(f+g, kf, f\times g, f/g, f^n(n \in \mathbb{N}^+), \sqrt[n]f(n \in \mathbb{N}^+)\) 连续。

当 \(g\) 在 \(b\) 处连续，\(\lim_{x\to c}f(x)=b\)，则 \(\lim_{x\to c}g(f(x))=g(b)\)。

无穷处的极限

\(x\to +\infty\) 和 \(x\to -\infty\) 的极限同样符合极限运算法则。同样可以用 \(\epsilon - \delta\) 方法定义。

渐近线

垂直渐近线：

\(x=c\) 是 \(f(x)\) 的垂直渐近线，当且仅当 \(\lim_{x\to c}f(x)=\infty\)。注意极限等于 \(\infty\) 不代表极限存在，它描述随 \(x\) 趋近于某值时 \(f(x)\) 可取任意大或任意小，同样可以用 \(\epsilon-\delta\) 方法描述。

斜渐近线：

\(y=kx+b\) 是 \(f(x)\) 的斜渐近线，当且仅当 \(\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(kx+b)]=0 \vee \lim_{x\to -\infty}[f(x)-(kx+b)]=0\)

斜渐近线可以用以下方法计算（以 \(x\to +\infty\) 为例）：

\[\begin{align*} k & =\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x} \\ b & =\lim_{x\to +\infty}[f(x)-kx] \end{align*} \]

导数

导数的定义

函数 \(f\) 在 \(c\) 处的导数定义为 \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\)。也可以写成 \(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\)

导数在区间可导的定义形式与连续在区间的定义形式相同。

可导与连续的关系

可导一定连续。

证明：

\(f(x)\) 在 \(c\) 处可导，设 \(\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=k\)。

\[\begin{align*} \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} &= k \\ \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \times (x-c) &= k \times \lim_{x\to c}(x-c) \\ \lim_{x\to c}[f(x)-f(c)] &= k \times 0 \\ \lim_{x\to c}f(x) &= f(c) \end{align*} \]

连续不一定可导。

例如 \(f(x)= |x|\) 在 \(x=0\) 处连续，但不可导。

导数的运算法则

\[\begin{align*} &\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(u+v) \\ &\frac{k\times du}{dx}=k\frac{du}{dx} \\ &\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx} \\ &\frac{d}{dx}(u/v)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2} \end{align*} \]

证明：下证 \(\displaystyle \frac{d}{dx}(u/v)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) 作为参考:

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}(u/v) &= \lim_{z\to x}\frac{\frac{u(z)}{v(z)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{z^-x} \\ &=\lim_{z\to x} \frac{1}{v(z)v(x)}\times \frac{u(z)v(x)-u(x)v(z)}{z-x} \\ &=\lim_{z\to x} \frac{1}{v(z)v(x)}\times \frac{u(z)v(x)-u(x)v(x)-[u(x)v(z)-u(x)v(x))]}{z-x} \\ &=\lim_{z\to x} \frac{1}{v(z)v(x)}\times[ \frac{u(z)-u(x)}{z-x}v(x)-\frac{v(x)-v(z)}{x-z}u(x)] \\ &=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2} \end{align*} \]

同理其它易证。

高阶导数

将 \(f'(x)\) 看作关于 \(x\) 的新函数求导。

下面是一些高阶导数的常见记号：

\[f^{(n)}=\frac{d^{(n)}y}{dx^{n}}=D^{n}(f)(x)=D^ny \]

三角函数的导数

高中三角函数的补充：

\(\displaystyle \cot x=\frac{1}{\tan x}, \csc x=\frac{1}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x}\)

求导法则：

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}\sin x &=\cos x \\ \frac{d}{dx}\cos x &=-\sin x \\ \frac{d}{dx}\tan x &=\sec^2 x \\ \frac{d}{dx}\cot x &=-\csc^2 x \\ \frac{d}{dx}\sec x &=\sec x\tan x \\ \frac{d}{dx}\csc x &=-\csc x\cot x \end{align*} \]

复合函数的求导的链式法则

为了方便理解，下面使用牛顿记号而不使用莱布尼茨记号。

记 \((f \circ g)(x)=f(g(x))\)

当 \(f\) 在 \(g(x)\) 处连续，\(g\) 在 \(x\) 处连续，有 \((f \circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)\)。

证明：

\[\begin{align*} (f \circ g)'(c) &=\lim_{x\to c}\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c} \\ &=\lim_{x\to c}\frac{f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)} \times \frac{g(x)-g(c)}{x-c} \\ &=\lim_{x\to c}\frac{f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)} \times \lim_{x\to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c} \\ &=f'(g(x))\times g'(x) \end{align*} \]

我们来分析一下上式，它的一个问题是，可能 \(g(x)-g(c)=0\)。

下为对该证明的补充：

当 \(g'(c)\neq 0\)，则显然存在一个包含 \(c\) 区间使 \(g(x)-g(c)\neq 0\)。该区间可以通过极限的 \(\epsilon-\delta\) 定义构造。

当 \(g'(c)=0\)，则这里的证明还有些问题。待完善。

隐函数求导

对方程 \(F(x, y)=0\)，对满足该方程的 \((x, y)\) 求该处的 \(\frac{dy}{dx}\)。

能写出 \(\frac{dy}{dx}\) 表示 \((x, y)\) 点处 \(y\) 是关于 \(x\) 的一个函数，且该函数可导。假设 \(F\) 在 \((x, y)\) 处满足该条件，可用如下方法：

将方程两边对 \(x\) 求导（由于 \(y\) 可以表示成 \(x\) 的函数，则 \(F(x, y)\) 也可表示成关于 \(x\) 的函数，故可以将 \(F(x, y)\) 对 \(x\) 求导），得到

\[\frac{d}{dx}F(x,y)=0 \]

若新方程与 \(\frac{dy}{dx}\) 无关（该项的系数为 \(0\)），则证明在 \((x, y)\) 处不满足隐函数求导的条件。
若新方程与 \(\frac{dy}{dx}\) 有关，则可以解出 \(\frac{dy}{dx}\) 的值。

同时，若继续将新方程中 \(x\) 视作主元，也可以用隐函数求导计算高阶导数。

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