基础图论算法

首先还是感谢 Alex_Wei 的博客 图论基础．
这篇博客可以理解成学习笔记之类的．所以记叙比较散乱是正常的．嗯．

一．最短路

以下内容，提最短路时若不做特殊说明，默认图是 无负环的存在负权有向图．

结论

1. 最短路中不存在环．

若存在环，只能是负环．

2. 单源最短路中，源点到图中任意一点的最短路最多有 \(n-1\) 条边．

考虑 \(n-1\) 条边构成图中可能存在的最小的链．若存在超过 \(n-1\) 条边，则路径上有环．这与 结论 1 矛盾．

3. 最短路树
   对于每个点的最短路，考虑将它最短路上的前驱节点（若有若干，选择其中一个） \(v(dis_u=dis_v+w)\) 认作其父亲．则若所有点对源点都可达，这样会形成一种树形结构满足源点出发的任意一条路径都是最短路．我们叫他最短路树．
   最短路树不止一种．若保留所有的

算法

SPFA

SPFA 是 Bellman-Fold 算法的队列优化．
其核心思想是对全点做 \(n-1\) 轮松弛．即遍历边 \(e(u \rightarrow v, w)\)，检查若 \(dis_v>dis_u+w\)，令 \(dis_v \leftarrow dis_u+w\)．
松弛 \(i\) 轮后，\(dis_u\) 表示源点到 \(u\) 经过边数不超过 \(i\) 的最短路长度．

SPFA 判断负环

初始时，将全点丢入队列，\(dis\) 赋为 \(0\)．执行 SPFA 并更新每个点的 入队次数，若发现某点入队次数 \(\ge\) \(n-1\)，则原图存在负环．

入队次数，其实等于最短路经过的边数．当第 \(x\) 次入队时，一定有路径边数 \(\ge x\)．否则它肯定会在之前的轮次更新．

差分约束系统

考虑一组变元 \((x_1, x_2, x_3, ..., x_n)\) 的取值：
若存在若干组限制 \(x_i+d \ge x_j\)．如何构造满足所有限制的解．

发现 \(x_i+d \ge x_j\) 形如最短路里的三角形不等式：
对于任意一种单元最短路，若存在边 \(e(u \rightarrow v, w)\)，一定有 \(dis_u+w \ge dis_v\)．

于是我们对于每组限制，建边 \(e(x_i \rightarrow x_j, d)\)，然后进行最短路算法即可．

为了防止存在单元最短路无法扩展到的点，通常，我们会建立超级源点 \(S\)，并对所有点建边 \(e(S \rightarrow u, 0)\)．
这显然不会影响答案的正确性．只是限制了求解出的 \(x_i\) 小于等于给 \(S\) 赋值的初始距离 \(dis_S\)．

考虑最短路求得解的特殊性：
最短路求得差分约束的解满足为所有 \(x_i \le dis_S\) 的最大解．

考察差分约束建模后产生的最短路树，若将任意某些 \(x_i+1\)，则必定存在其某个 \(x_i\) 最短路树上的父亲与 \(x_i\) 不满足三角形不等式．

同理，最长路求得的解是满足所有 \(x_i \ge dis_S\) 的最小解．

Dijkstra

适用于非负权图最短路．
每次选择距离最短的节点，将其标记为已经求解了最短路的节点，然后用其更新其他没有标记的节点．

在非负权图中，对于一种最短路树，可以保证其父亲的距离一定小于等于自身的距离．归纳法即可证明 Dijkstra 算法的正确性．

值得注意，使用堆优化的 Dijkstra 的算法时间复杂度为 \(O(m\log m)\)．当 \(m\) 接近 \(n^2\) 时，使用不加堆优化的 Dijkstra 算法更优，复杂度为 \(O(n^2)\)．

01 Bfs

是 Dijkstra 算法在特殊图上的一种变式．
考虑一张图只有 \(0/1\) 两种边权．我们使用 deque 进行 Bfs．每次取出队头，若碰到 \(0\) 边，将新节点放入对头；若碰到 \(1\) 边，将新节点放入队尾．

结论：第一次被更新时的距离即是每个节点的最短距离．

证明：

1. 在 01 Bfs 中，队列里的点距离按从小到大排列．
2. 在 01 Bfs 中，当前队列里只会有两种距离 \(d,d+1\) 的点．若当前局面满足 1,2，只会更新出距离为 \(d\) 或 \(d+1\) 的点．故之后的状态也满足 1,2．

所以 01 Bfs 在 01 边权的图上模拟了 Dijkstra．