字符串算法（自动机相关）

SAM 后缀自动机

本文意图从 sam 的性质解释 sam 的构建原理，使得之后复习时对 sam 的特点有更清晰的理解．

注：文章受 Alew_Wei 的博文 常见字符串算法 II：自动机相关 启发．会有许多相关的应用，感谢．

记号/约定：

$T$：sam 的起点，代表空串的等价类．
$t_p$：从 $T$ 转移截止到状态 $p$ 的一个子串．
$c_{p, q}$：状态 $p$ 转移到状态 $q$ 的字符．

$\delta(p, c)$：状态 $p$ 经过 $c$ 转移到的状态．
$endpos(t)$：字符串 $t$ 结束位置的集合．
$substr(p)$：状态 $p$ 代表的子串集合．
$shortest(p)$：状态 $p$ 代表的最短子串．
$longest(p)$：状态 $p$ 代表的最长子串．
$minlen(p)$：$|shortest(p)|$．
$len(p)$：$|longest(p)|$．
$link(p)$：状态 $p$ 的后缀链接．

一．引理

4 个引理是重要而容易理解的．

两子串的 $endpos$ 包含或不交．
对于一个状态 $p$，$substr(p)$ 中的子串连续，并且较短的串是较长的串的后缀．
后缀链接构成一棵根节点为 $T$ 的树．
后缀链接构成的树和由 $endpos$ 包含关系构成的树相同．

对于后缀链接的理解：状态 $p$ 的后缀链接为 $q$，即从 $longest(p)$ 开始不断丢弃子串前端的字符，直到 $shortest(p)$ 为止，子串 $endpos$ 没有改变．继续丢弃前端的字符，子串的 $endpos$ 会新增加一些位置，变成另一个状态，即 $q$．

二．性质/结论

有 sam 的结构结合引理可以得到这些性质．这些性质是很重要的．

关于后缀链接
- 从状态 $p$ 沿后缀链接到 $T$，所有状态 $q$ 的区间 $[minlen(q), len(q)]$ 不交，其并构成区间 $[0, len(p)]$．
- 从状态 $p$ 沿后缀链接到 $T$，所有状态 $q$ 的 $substr(q)$ 的并集构成 $longest(p)$ 的所有后缀．
关于转移
- 若存在转移 $p \rightarrow q$，$\forall t_p\in substr(p), t_p+c_{p, q}\in substr(q)$．
- $\forall t_q \in substr(q), \exists t_p(p\rightarrow q),t_p+c_{p,q}=t_q$．
还是转移
- 对于状态 $q$，不存在 $p \rightarrow q,len(p)+1 > len(q)$．
- 对于状态 $q$，唯一存在 $p \rightarrow q,len(p)+1=len(q)$．
- 对于状态 $q$，唯一存在 $p \rightarrow q,minlen(p)+1=minlen(q)$．

到这里，我们回头考察一下这些性质．1 中的性质可以通过引理中 对于后缀链接的理解 证明．2 中的性质可以用 sam 的 $DAWG$ 的性质证明．3 中的性质则是 1 和 2 的结合和补充．

记 $mxtrs(q)=p\ (p \rightarrow q,len(p)+1=len(q)),\ mntrs(q)=p\ (p \rightarrow q,minlen(p)+1=minlen(q))$．

对于状态 $q$，所有 $p\ (p \rightarrow q)$ 在 parent tree 上形成一段从 $mxtrs(q)$ 到 $mntrs(q)$ 深度由深到浅的链．

结论 4 结合前面的结论是容易理解的．

从图上，我们可以这样去理解它：
在这里插入图片描述

三．构建

有了 一、二 两部分的铺垫，构造的过程就比较易懂了．考虑新增一个字符 $c$ 构成的串为 $s$，之前的串为 $s'$．$s'+c=s$．令 $|s|=n$．

相较于 $s'$，$s$ 中只多出了一个新子串 $s$，只有 $s$ 的后缀 $endpos$ 新增了 $n$．

在 parent tree 上，我们记一个状态 $p$ 到 $T$ 的简单路径经过的状态集合为 $Rd_p$．

新建节点 $np$，$endpos(np)=n$．
$s$ 的真后缀可以表达为 $s'$ 的后缀 $+c$．设状态 $p_{s'}$ 满足 $s' \in p_{s'}$，$向上遍历 $Rd_{p_{s'}}$，在这个过程中处理 $p \rightarrow np$ 的新增转移并找到 $link(np)$．

对于过程中第一个 $p\in Rd_{p_{s'}}, \exists\delta(p, c)$，每个之前的节点 $p'$ 有新增转移 $\delta (p, c)=np$．
在这部分中，$\forall t_{p'}$，$t_{p'}+c$ 不属于 $s'$ 中的任意一种等价类．故 $t_{p'}+c \in np$．

记 $\delta(p, c)=q$．接下来我们分两种情况讨论：

$len(q)=len(p)+1$．这说明 $\forall t_q$，$t_q$ 为 $s$ 的后缀．可以直接让 $link(np)=q$．
$len(q)>len(q)+1$．这说明 $\exists t_q$，$t_q$ 不是 $s$ 的后缀．我们把 $q$ 分为两部分 $nq,mq$ 分别表示是 $s$ 后缀的部分和不是 $s$ 后缀的部分并用两者代替 $q$．令 $link(nq)=link(q),link(mq)=nq,\ len(nq)=len(p)+1,len(mq)=len(q)$．它们的转移都和 $q$ 的转移相同．继续跳 $p$ parent tree 上的祖先 $p'$，$\delta(p', c)$ 能够表达的子串一定全部为 $s$ 的后缀，故不用继续向上检查．直接令 $link(np)=nq$．
这之后，我们顺着 $p$ 向上跳后缀链接，将满足 $\delta(p', c)=q$ 的点进行操作 $\delta(p', c) \leftarrow nq$．

发现我们在上述讨论中完美地构造了状态 $np$．构造它的过程中巧妙地串联起来 $s'$ 和 $s$ 后缀的关系．

关于增量法构造 sam 的上述讨论，都是和之前所提到的结论相照应的．
在理解时，尤其注意结合 性质 4：对于状态 $q$，所有 $p\ (p \rightarrow q)$ 在 parent tree 上形成一段从 $mxtrs(q)$ 到 $mntrs(q)$ 深度由深到浅的链．

四．应用、例题

这部分可能会在以后更新．

PAM 回文自动机

回文自动机又被称为回文树．据说是科学家受到 SAM 的启发研究出来的．但我感觉它和 ACAM 更像．

回文串的折叠表示

考虑一个回文串 $S[1, n]$．它的折叠表示为

\[\begin{cases} &S[\frac{n+1}{2}, n]\quad(2 \nmid n)\\ &S[\frac{n}{2}+1,n]\quad(2 \mid n) \end{cases} \]

显然，我们只要知道了回文串长度的奇偶性就可以用折叠表示唯一对应一个回文串．

前置：PAM 的结构

PAM 和其他自动机一样，由转移边 $\delta$ 和后缀链接 $Fail$ 构成．

约定：
$\overline{S}$：$S$ 的折叠表示．
$T(p)$：$p$ 节点表达的回文串．
$Fail(p)$：$p$ 节点的后缀链接．
$\delta(p, c)$：$p$ 经过 $c$ 转移到的节点．
$len(p)$：$|T(p)|$

转移边 $\delta$：PAM 的转移边形成两棵 Trie 树，根节点编号为 $0$ 和 $1$，从 $0$ 号节点出发，沿转移边到达 Trie 树上的任意一个节点，路径形成的字符串为一个 长度为偶数的回文串 的折叠表示．同理，从 $1$ 号节点出发，路径形成的字符串为一个 长度为奇数的回文串 的折叠表示．
特别的，规定 $len(0)=0, len(1)=-1$．

后缀链接 $Fail$：PAM 的后缀链接同样和其他自动机的后缀链接很像．都是满足某一条件的最长真后缀．比如 ACAM 是满足和该节点字符串前缀匹配，SAM 是满足和该节点的 $endpos$ 不同．
PAM 的后缀连接的定义形如：对于节点 $p$，$Fail(p)=q$．$q$ 是满足 $T(q)$是 $T(p)$ 的真后缀的 $len(q)$ 最大的节点．
特别的，规定 $Fail(0)=1, Fail(1)=1$．

构造过程

增量构造法，考虑加入字符 $c$．
新增的回文串（原来没出现过）只可能是新串的极长回文后缀 $suf$．考虑 $suf$ 的一个回文后缀沿 $suf$ 的对称中心翻折，其肯定包含在旧串里面．
显然有 $suf$ 是旧串的极长回文后缀 $suf'$ 或其回文后缀首尾各添加 $c$ 形成的．于是我们可以跳 $suf'$ 的 $Fail$ 寻找 $suf$．找到后，若发现没有 $suf$ 对应的节点，我们需要考虑新建一个节点 $np$ 对应 $suf$．
$np$ 在 Trie 上的父亲就是我们跳 $suf'$ 的 $Fail$ 得到的节点．其首尾添加 $c$ 就是 $suf$．我们设其是 $p$．有 $\delta(p, c)=np, len(np)=len(p)+2$．
再考虑 $Fail(np)$．显然 $Fail(np)$ 是 $\delta(p在 Fail 树的一个祖先, c)$．

主体流程是比较清晰的．
展出一下 PAM 的代码，其中的一些小细节会在代码中解释：

int get_fail(int u, int pos){
	while(s[pos-t[u].len-1]!=s[pos]) u=t[u].fail;
	//这里的循环一定会 break：当 u 来到 1 号节点时，一定有 s[pos]==s[pos]．
	return u;
}

void insert(int c, int pos){
	int p=get_fail(las, pos);
	if(!t[p].ch[c]){
		t[++tot].len=t[p].len+2;
		t[tot].fail=t[get_fail(t[p].fail, pos)].ch[c];
		t[p].ch[c]=tot;
		/*
		11 行要放在 12 行前面．
		get_fail 只会判断转移的可行性，并没有检查实际上是否有这种转移．
		在 t[tot].len>1 时，可以保证 get_fail(t[p].fail, pos) 找到正确的节点．
		而在 t[tot].len=1 时，有 p=1，这时 get_fail(t[p].fail, pos) 其实找到的是 1 号节点．
		在这种特殊情况中，若提前令 t[p].ch[c]=tot，则可能使 fail 边连出自环．
		*/
	}
	las=t[p].ch[c];
}

当然，如果不喜欢上面代码中 insert 部分的奇怪特判，可以这样写：

void insert(int c, int pos){
	int p=get_fail(las, pos);
	if(!t[p].ch[c]){
		t[t[p].ch[c]=++tot].len=t[p].len+2;
		t[tot].fail=t[tot].len==1? 0:t[get_fail(t[p].fail, pos)].ch[c];
	}
	las=t[p].ch[c];
}

回文划分

不会．有没有人能教教我啊．

posted @ 2023-07-14 00:00 ckain 阅读(29) 评论(0) 收藏举报

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