线性基小记

设有数集 \(S\)，数的二进制表示最高位不超过 \(K\)．可构造线性基为一最小化的集合 \(V\)，满足一个数能被表示成若干 \(S\) 中的数的异或和，当且仅当其能被表示成若干个 \(V\) 中的数的异或和．\(V\) 的大小不超过 \(K+1\)．

1 构造方法．

记 \(V_i\) 表示线性基中最高位为 \(i\) 的元素．考虑现在插入一个数 \(a\)．从大到小枚举 \(i\)．若 \(a\) 在第 \(i\) 位为 \(0\)，则跳过；否则若不存在 \(V_i\)，将 \(a\) 作为 \(V_i\) 并中断枚举，若存在 \(V_i\)，将 \(a\) 变为 \(a\oplus V_i\) 并继续枚举．

性质的证明．

（一）一个数能被表示成若干 \(S\) 中的数的异或和，当且仅当其能被表示成若干个 \(V\) 中的数的异或和．

归纳证明．设原来的线性基满足性质．考虑在插入 \(a\) 后，一个被 \(S\) 中元素表示的数 \(\displaystyle x=a_{i_1} \oplus a_{i_2} \oplus...\oplus a_{i_k}\oplus a\)．
我们做如下分类：

• 若 \(a\) 最终没有被插入线性基，则 a 可以被线性基中原来的元素表示出．\(\displaystyle x=a_{i_1} \oplus a_{i_2} \oplus...\oplus a_{i_k}\oplus a_{j_1} \oplus a_{j_2} \oplus...\oplus a_{j_{k^{'}}}\)．显然可以被原来的线性基表示出．
• 若 \(a\) 被插入了线性基，设其为 \(V_a\)．则有
  \(V_a=a \oplus a_{j_1} \oplus a_{j_2} \oplus...\oplus a_{j_{k^{'}}}\)
  \(a=V_a \oplus a_{j_1} \oplus a_{j_2} \oplus...\oplus a_{j_{k^{'}}}\)
  \(x=a_{i_1} \oplus a_{i_2} \oplus...\oplus a_{i_k}\oplus a\)
  \(\;\;\;=V_a \oplus a_{j_1} \oplus a_{j_2} \oplus...\oplus a_{j_{k^{'}}} \oplus a_{i_1} \oplus a_{i_2} \oplus...\oplus a_{i_k}\)

这是 \(S \rightarrow V\) 的证明，同理也有 \(V \rightarrow S\) 的证明．

当然，可以用 线性代数 理解．我们将 \(S\) 中的数看作 \(K+1\) 维的向量．那么 \(S\) 可以看做一个向量空间．这样一个向量空间显然不超过 \(K+1\) 维（这个是性质二）．然后我们发现 \(V\) 其实是维护了一组极小的线性无关向量构成的上三角矩阵．我们插入 \(a\) 的过程其实是对新矩阵做高斯消元．

（二）\(V\) 的大小不超过 \(k+1\)．

这个就很显然了．就不证了．

（三）\(V\) 是极小的．

这个就不会证了，当然从 线性代数 的角度理解好像可以．

code．

struct linebase{
	int c[Bit+1];
	linebase(){memset(c, 0, sizeof(c));}
	void ins(int x){
		for(int i=Bit; ~i; i--){
			if((x>>i)&1){
				if(!c[i]){c[i]=x; break;}
				x^=c[i];
			}
		}
	}
};