文献阅读 A Subdivision Scheme for Hexahedral Meshes

简介

本文提出了一种六面体体细分的方案，可以将六面体分成比较光顺的六面体。同时增加六面体的数量且不改变六面体的拓扑。
本文作者 Bajaj =.=

论文方案

主要由两个步骤组成 split & average
将CC四边形细分变为简单的方案可以通过 bi-linear subdivision followed by a simple averaging operation.
一个双线性细分然后跟着一个均值的操作。

split

就是插入中心边点
插入cell的（中心）点

average

作者提出了一种mask的思想。
找到一篇文章讲mask的思想。就是新产生的点的权重的确定的矩阵
More precisely:
• What are good averaging masks?
• The averaging mask determines the weights by which the new point positions are computed

对于一个面来说，mask矩阵就是中心点和它四个角的加权平均
不知道能否这么解释。

上面的图可以更好的解释。mask 其实就是关于某个点生成对应点的权重矩阵。
核心语句 reposition a vertex at the centroid of the centroids of the eight hexahedra that contain the vertex.
对于在中心点来说，一个点连接着8个cell（六面体），如何移动这个顶点的坐标呢？首先求这8个cell的重心（每个cell8个顶点的均值），
求出8个cell均值，然后8个cell均值的均值，也就是这个点应在存在的位置了。 下图的公式就是对于这个思想的简单解释了

但是核心的是如何确定边缘的点，边缘的点只连接了4个cell，如果采用上述方法，那么将导致急剧的收缩。
所以作者在2.3节提出了复合细分规则。
\(ring[v1, v2..]\) 表示一些列顶点的多面体
\(val[v1,v2..]\) 表示这一系列点含有的多面体的个数。
\(dim[v1, v2..]\) 表示最小的维度 0 表示他们重合在了一起，1表示他们在边上，2表示他们在公共面上。
对于一个旧顶点，他的新坐标表示在周围一圈旧多面体的加权求和上。
作者提出了这个公式

\[\frac{1}{4^{\mathrm{d}} \operatorname{val}[\mathrm{v}]} 3^{\mathrm{d}-\mathrm{dim}[\mathrm{u}, \mathrm{v}]} \operatorname{val}[\mathrm{u}, \mathrm{v}] \]

这个图就是对于公式的应用。
n表示中心黑点的度，也就是中心黑点和几个四边形相互连接。
如果只有一个四边形的话，那么 n = 1, val[v] = 1
\(\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2 * 1} * 3^{2-2} * 1\) 因为共面所以dim=2， val[u,v] = 1 是因为包含u,v的顶点的面只有一个面。

文章公式思考

1. \(P_i = S_{i-1} P_{i-1}\)
   \(P_i\) 细分之后的举证
   \(S_{i-1}\) 细分矩阵（简单来说，可以使用细分方案）
   \(P_{i-1}\) 细分之前的矩阵。

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对于数学没有太敏感的我，没什么软用。

2. \(T_i\) 表示连接关系的拓扑矩阵。

文章图片思考

演示了对于面进行split & average 之后的结果。然后作者依据这种现象构建了新的六面体细分方案。

可以通过上面的图看出来有两个操作，一个是简单的差值，另一个是average。中间的图是差值的操作。

上面一行是差值，下面一行是average的效果图。

TIPS

Unfortunately, these rules only apply to quadrilateral meshes with tensor product topology (i.e. each
interior vertex is shared by four quadrilaterals). 作者说，简单的四边形细分规则，只能应用于张量积形式的拓扑（作者举了一个例子，就是内部点，周围有四个顶点。）

文章优点

可以应用于非流形拓扑,证明了这种方案生成的六面体网络的连续性。

猜想

文章的难点 均分可以解决内部点的问题如何将表面的点进行均分？？？

Question

1. 嵌入折痕表示为CC曲面和样条曲线。嵌入折痕（embedded creases）就很由灵性了。真不懂，如果谁知道可以写一篇博客然后留一个评论。
2. 张量积 是什么鬼？

参考链接 https://www.cnblogs.com/sybil-hxl/p/12804765.html
https://img2020.cnblogs.com/blog/968024/202005/968024-20200515231824101-870579029.png

3. 双线性细分？

猜测 应该是沿着两个维度进行细分
类比3线性细分 应该是沿着三个维度进行细分

result

做是做出来了，但是我无法解释MLCA对于边缘的处理。参考的是师兄的代码，我也不方便将代码放上来。只能说，对于中心点的处理确实是使用 \(P_{new[v]} += \frac{cent}{val[v]}\)
对于边缘点的处理，该怎么整呢？
边缘点使用复合细分规则感觉也不太对。至少和师兄的代码不对应。

对于边缘点处理的想法（合理但感觉少了点什么）

由谢大佬提供
边缘的点的细分可以直接用面的细分，因为，样子是一样的。

友情赠送

http://resources.mpi-inf.mpg.de/departments/d4/teaching/ss2012/geomod/slides_public/14_Subdivision_Surfaces.pdf
这是某个大学关于细分很好的材料，对于mask的理解很大一部分参照了上面说的内容。