LINGO 解线性方程 例子

简介

没有什么比一个例子更好讲解Lingo的了，不行那就两个... ...

Question

已知某种商品6个仓库的存货量，8个客户对该商品的需求量，单位商品运价如下所示，试确定6个仓库到8个客户的商品调运数量，使总的运输费用最小。
c=
6 2 6 7 4 2 5 9
4 9 5 3 8 5 8 2
5 2 1 9 7 4 3 3
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3;
6行 每行表示仓库  每列表示客户，中间的数值表示 仓库到客户的单位运价

解题方程

\[\min \sum_{i=1}^{6} \sum_{j=1}^{8} c_{i j} x_{i} \]

\[s . t .\left\{\begin{array}{c} \sum_{j=1}^{8} x_{i j} \leq e_{i}, i=1,2, \ldots, 6 \\ \sum_{i=1}^{6} x_{i j}=d_{j}, j=1,2, \ldots, 8 \\ x_{i j} \geq 0, i=1,2, \ldots, 6 ; j=1,2, \ldots, 8 \end{array}\right.\]

这个方程是什么意思呢？

第一个表示：每个地方的单位运费 * 运送的单位数，要让这个结果最小
第二个表示约束：

约束1：每个仓库的输出的量要小于等于这个仓库中的量
约束2：每个客户收到的量等于所有仓库发送到这个客户的量
约束3：每个仓库的输出量为正数

Lingo 方程

model:
sets:
  warehouses/1..6/:e;
  vendors/1..8/:d;
  links(warehouses, vendors):c,x;
endsets
data: !数据部分;
e=60 55 51 43 41 52; !属性值 表示每个仓库的存货量;
d=35 37 22 32 41 32 43 38; ! 表示需求量;
c=6 2 6 7 4 2 5 9
4 9 5 3 8 5 8 2
5 2 1 9 7 4 3 3
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3;
enddata
min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j)); !目标函数;
@for(warehouses(i):@sum(vendors(j):x(i,j)) <= e(i)); !约束条件;
@for(vendors(j):@sum(warehouses(i):x(i,j)) = d(j));
end

Focus

我们学习lingo的目标就是如何根据我们建立好的数学模型正确书写出他的程式。

第一
模型书写在 model: end之中
第二
sets 集合的书写方式 warehouses/1..6/:e;
links 构建二维集合
第三
data: enddata 对sets进行赋值
data 是从1开始
第四
sum 和 for 都是 两部分的 第一部分：集合的名称 第二部分：表达式

examle： 求特征值和矩阵中的未知的参数

\[A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{array}\right)\]

\[P=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\]

其中P是A的一个特征向量，求参数a,b及特征向量P所对应的特征值

解方程Ap=lambda p

lambda 是特征向量的特征值
code

model:
sets:
num/1..3/:p;
link(num,num):a;
endsets
data:
p=1 1 -1;
a=2 -1 2
5,,3
-1,,-2;! 两个逗号之间的参数待定;
enddata
@for(num(i):@sum(num(j):a(i,j)*p(j)) = lambda * p(i));
@free(lambda);!特征值可正可负;
@for(link:@free(a));!注意未知参数取值是可正可负的;
end

答案

                                           Variable           Value
                                             LAMBDA       -1.000000
                                              P( 1)        1.000000
                                              P( 2)        1.000000
                                              P( 3)       -1.000000
                                           A( 1, 1)        2.000000
                                           A( 1, 2)       -1.000000
                                           A( 1, 3)        2.000000
                                           A( 2, 1)        5.000000
                                           A( 2, 2)       -3.000000
                                           A( 2, 3)        3.000000
                                           A( 3, 1)       -1.000000
                                           A( 3, 2)        0.000000
                                           A( 3, 3)       -2.000000