2026/9/12 初赛模拟 3

注：由 GPT-6 Astra

下面是整卷参考答案＋逐题简析。第 25 题和幻方题的输出已核算；第 38 题存在两个正确选项。

一、单项选择题（1～15）

题号 答案 简析

1 B 每轮读入 5 个新元素，最后弹出第 5 个，栈顶为本轮第 4 个，即 (5\times2019-1=10094)。
2 C 二分查找判定树各层分别有 1、2、4、4 个元素，平均比较次数为 ((1+4+12+16)/11=3)。
3 D ((1762)8=512+448+48+2=1010)，((3F2)=768+240+2=1010)。
4 D 四个数开平方向下取整得到 1、2、3、4，互不相同；其他选项中 6 和 17 会冲突。
5 C 两部分各放 6 个顶点，全部跨部连边，最多 (6\times6=36) 条。
6 C 顺序是 b、e、a、d、c：处于峰顶就返回，处于上升段向右找，否则向左找。
7 D 不随机化时，某些输入会使划分持续失衡，时间退化到 (O(n^2))。
8 B 按 8 位表示，正数是 01101010，取反加一得到 10010110。
9 C 掩码 00001111 保留低 4 位、清空高 4 位。
10 D 从循环链表的任一节点出发，都能沿后继遍历整个链表。
11 C (N+N/2+N/4+\cdots<2N)，所以是 (O(N))。
12 B 每层总代价逐渐下降，总时间为 (O(n\log_2 n))。
13 B Cayley 公式：(n) 个不同标号顶点构成的无根树有 (n^{n-2}) 棵，故为 (5^3=125)。
14 D 两日期相差 41 年，包含 10 个闰日；相差天数模 7 为 2。星期一往前两天是星期六。
15 D 简单无向图最多有 (\binom92=36) 条边。

第 6 题按分支逻辑应选 C。不过原卷伪代码的中点计算也有问题：递归区间若为 ([l,k])，应取 mid=(l+k)/2，不能始终使用 k/2。

二、阅读程序（16～31）

第一段程序：拓扑排序＋有向无环图最长路径 DP。

其中 len[a] 表示以节点 a 结尾的最长路径包含的顶点数，转移为：

[
\operatorname{len}[a]
=\max\left(1,\max_{j\to a}{\operatorname{len}[j]+1}\right).
]

题号 答案 简析

16 × 改成 degree[a]++ 后统计的是出度，但后续仍按入度的处理方式执行，逻辑不成立。
17 × 邻接矩阵扫描以及后面的 DP 都有两层循环；正常处理 DAG 时为 (O(n^2+m))，简单图下为 (O(n^2))。
18 √ graph、degree 是全局数组，进入 main 前已经自动初始化为 0。
19 √ 最长路径可以是 (0\to1\to3) 或 (0\to2\to3)，均含 3 个顶点。
20 A graph[a][b] 表示是否存在有向边 (a\to b)，属于邻接矩阵。
21 C 不断将入度为 0 的节点加入队列，使用的是拓扑排序。

第二段程序：数位 DP，统计区间内满足以下条件的 11 位整数：

不同时出现数字 4 和 8。

至少出现一段连续 3 个相同数字，连续更多个也允许。

p、pp 保存前两位；hw 记录是否已经出现过连续三位相同；top 表示当前是否受上界限制。

题号 答案 简析

22 √ 一旦 _4 和 _8 同时为真，直接返回 0。
23 × 连续 4 位、5 位相同同样包含连续 3 位相同，仍可能被统计。
24 C C 为 11 位，有连续相同数字，且不同时含 4 和 8。A、B 同时含 4 和 8；D 没有连续三位相同。
25 A 输出为 5。

第 25 题满足条件的数是：

12121285000
12121285111
12121285222
12121285333
12121285550

注意 12121285444 虽然含 444，但同时含 4 和 8，不能计入。

第三段程序：构造奇数阶幻方，并输出第一行。

设输入为 (t)，程序将阶数改为 (n=2t-1)。填数时优先向右上方移动，越界则绕回；目标位置已填数等情况下，改为向下移动。

题号 答案 简析

26 × 输出数字个数为 (2t-1)，不是 (2t)。
27 √ 输入 1 时，只有一个格子，输出 1。
28 A 输入 3，第一行是 17 24 1 8 15。
29 B 输入 5，阶数为 9，因此输出 9 个数字。
30 A 输入 4，阶数为 7，每行总和为 (7(7^2+1)/2=175)。
31 B 输入 2，第一行是 8 1 6。

幻方每行之和的计算方法：所有数的总和为

[
1+2+\cdots+n^2=\frac{n2(n^2+1)}2,
]

再除以行数 (n)，得到 (\frac{n(n^2+1)}2)。

三、完善程序（32～41）

第一段：循环比赛日程表。

每次把边长为 half 的表扩展为原来的两倍。左上部分保留，右上、左下部分加上 half，右下部分复制左上部分。

题号 答案 应填内容 原因

32 B a[0][0] = 1 从一个元素开始构造。
33 D j + half 填写右上部分。
34 C a[i][j] + half 对应编号增加 half。
35 A a[i][j+half] 左下部分与右上部分对应相同。
36 B half *= 2 本轮结束，已构造区域的边长翻倍。

第二段：带权并查集。

fa[x]：并查集父节点。

num[root]：这一列的战舰总数。

front[x]：维护到父节点的距离；执行 find(x) 后，变为到根节点的距离，也就是这一列中排在它前面的战舰数。

题号 答案 应填内容 原因

37 A front[n] += front[fa[n]] 路径压缩时，把父节点到根的距离累加进来。
38 B、D 均可 front[i] = 0 或 front[fa[i]] = 0 上一行已经执行 fa[i]=i，两种写法完全等价。
39 D num[fy] += num[fx] 将 fx 所在列接到 fy 所在列后，更新新根的集合大小。
40 D fx != fy 根不同说明不在同一列，输出 −1。
41 A abs(front[x]-front[y])-1 两者位置差减去 1，就是中间的战舰数。

第 38 题若必须单选，建议填 B；但 D 在原程序中也正确，这道题不满足“唯一正确选项”。

By：GPT