欧拉定理

欧拉定理

给定整数 \(a,m\)，其中 \(\gcd(a,m)=1\)，求证：

\[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m \]

其中 \(\phi(m)\) 是欧拉函数，表示 \(\le m\) 中与 \(m\) 互质的数的个数。

欧拉定理证明

考虑模 \(m\) 的一个简化剩余系，即 \(\le m\) 中所有与 \(m\) 互质的数，记为 \(c_1,c_2,...,c_{\phi(m)}\)，由于 \((a,m)=1\)，所以 \(ac_1,ac_2,...,ac_{\phi(m)}\) 也是模 \(m\) 的一个简化剩余系。这是因为：

• 首先有 \(\gcd(a,m)=1\)。对于每个 \(c_i\)，有 \(\gcd(c_i,m)=1\)。所以 \(\gcd(ac_i,m)=1\)。
• 如果 \(i \neq j\)，则 \(ac_i \not \equiv ac_j \pmod m\)。这是因为如果 \(i \neq j\) 且 \(ac_i \equiv ac_j \pmod m\)，由于 \(\gcd(a,m)=1\)，所以两边同乘模 \(m\) 意义下的 \(a\) 逆元，得 \(c_i \equiv c_j \pmod m\)。但由于 \(c_i\) 和 \(c_j\) 是 \(\le m\) 的不同数，矛盾。

所以 \(c_1,c_2,...,c_{\phi(m)}\) 和 \(ac_1,ac_2,...,ac_{\phi(m)}\) 模 \(m\) 意义下相同，只是顺序不同，所以乘积也相同。故有：

\[\prod_{i=1}^{\phi(m)} (ac_i) \equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)} c_i \pmod m \]

提出：

\[a^{\phi(m)} \prod_{i=1}^{\phi(m)} c_i\equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)} c_i \pmod m \]

由于 \(\gcd(c_i,m)=1\)，所以 \(\gcd(\prod_{i=1}^{\phi(m)} c_i,m)=1\)。故存在 \(\prod_{i=1}^{\phi(m)} c_i\) 模 \(m\) 意义下的逆元。两边同乘 \(\prod_{i=1}^{\phi(m)} c_i\) 模 \(m\) 意义下的逆元，得：

\[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m \]

这就完成了证明。