[Leetcode] Median of Two Sorted Arrays
There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
好难啊，总是会有各种边界问题。想法如下：
最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：
- 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
- 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
- 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；
最终实现的代码为：
1 double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k) 2 { 3 //always assume that m is equal or smaller than n 4 if (m > n) 5 return findKth(b, n, a, m, k); 6 if (m == 0) 7 return b[k - 1]; 8 if (k == 1) 9 return min(a[0], b[0]); 10 //divide k into two parts 11 int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa; 12 if (a[pa - 1] < b[pb - 1]) 13 return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa); 14 else if (a[pa - 1] > b[pb - 1]) 15 return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb); 16 else 17 return a[pa - 1]; 18 } 19 20 class Solution 21 { 22 public: 23 double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) 24 { 25 int total = m + n; 26 if (total & 0x1) 27 return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1); 28 else 29 return (findKth(A, m, B, n, total / 2) 30 + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2; 31 } 32 };
