1. 实数和复数--(重生之重新开始学数学

大部分数学分析的书籍, 很少从集合论出发构造数域
<数学分析--卓里奇中> 中直接引入实数模型
<数学分析--Apostol>, <现代分析基础--J.狄厄多内>中, 直接给出实数公理
<数学分析原理--Rudin>, <数学分析讲义--梅加强> 中, 给出了从 \(\mathbb{Q}\) 到 \(\mathbb{R}\) 的戴德金构造法
<GTM - 278> 给出从 \(\mathbb{Q}\) 到 \(\mathbb{R}\) 的康托构造法

1 整数和有理数

定义: 归纳集

在 ZFC 下, 满足如下条件的 \(E\), 称为归纳集

\[\begin{array}{} \emptyset \in E \\ \forall x \in E \quad \Longrightarrow\quad x\cup\{ x \}\in E \end{array} \]

公理: 皮亚诺公理

\(0 \in \mathbb{N}\)
若 \(n \in \mathbb{N}\)，则 \(S(n) \in \mathbb{N}\)
\(\forall n \in \mathbb{N},\) \(S(n) \neq 0\)
若 \(S(m) = S(n)\)，则 \(m = n\)
归纳公理：若 \(A \subseteq \mathbb{N}\) 且 \(A\) 是归纳集，则 \(A = \mathbb{N}\)

自然数的构造

将 \(\emptyset\) 用符号 \(0\) 记, 然后定义一个集合的后继如下

\[S(x)=x+1 = x\cup \{ x \} \]

不断通过从 \(0\) 开始进行后继, 构造出的新元素, 构成的集合是归纳集.
将最小归纳集称为自然数集, 即

\[\mathbb{N}:=\bigcap\{ E:E\text{是归纳集} \} \]

可证明 \(\mathbb{N}\) 满足皮亚诺公理, 从此可依照皮亚诺公理来讨论集合 \(\mathbb{N}\)

proof:
(1), (2) 是显然的
(3) 由于 \(n\in S(n)\), 因此不是空集
(4) 只要证明

\[m\cup \{ m \} =n\cup \{ n \} \Longrightarrow m=n \]

由条件可知, 有 \(m\in n\) 或 \(m \in \{ n \}\), 也即
\(m\in n\) 或 \(m =n\).
同理也有 \(n \in m\) 或 \(m =n\).
若 \(m\neq n\), 则同时有 \(m\in n\) 和 \(n \in m\), 由正则公理可知, 这是不成立的. 因此 \(m=n\)
(5) 由于 \(\mathbb{N}\) 已经是最小的归纳集, 则说明 \(\mathbb{N} \subset A\), 同时 \(A \subset \mathbb{N}\), 由外延公理可知 \(A=\mathbb{N}\)

定理: 数学归纳法

\(P(x)\) 是关于自然数的谓词.
\(P(0)\) 为真, 且关于一个归纳集 \(A\subset\mathbb{N}\) , \(\forall x \in a,P(x)\) 总是真的,
由于 \(A=\mathbb{N}\), 则可以推出

\[\forall x \in \mathbb{N}, \quad P(x)\text{为真} \]

定义: 自然数上的加法

定义符号 \(+\) 具有如下功能

\[\begin{align} & m+0=m \\ & m+S(n)=S(m+n) \end{align}\]

[!note]
利用数学归纳法, 可以证明加法满足交换律, 步骤如下:

证明 \(n + 0 = 0 + n\)

证明 \(m+S(n) = S(m)+n\)

证明 \(m+n=n+m\)

定义: 自然数上的乘法和素数

定义符号 \(\times\) 具有如下功能

\[\begin{align} & m\times 0 = 0 \\ & m\times S(n)=m\times n+m \end{align} \]

- 类似[[#定义: 自然数上的加法]]可证明乘法满足交换律, 加法和乘法满足分配律
- 根据乘法方程的是否有解, 可以定义**整除**, 从而定义**因数**和**质数**

定理: 算数基本定理

一个自然数分解为质数相乘时, 只有唯一分解

proof:
设有两种不同的素因数分解, 并按大小排序

\[\begin{array}{} x=\prod a_{i} \\ x=\prod b_{i} \end{array} \]

取他们不同的那部分, 比如

\[a_{i_{1}}a_{i_{2}}\dots a_{i_{m}}=b_{j_{1}}b_{j_{2}}\dots b_{j_{n}} \]

分别对两边的 \(m,n\) 使用归纳法, 则可以证明必然有

\[a_{i_{k}} =b_{j_{k}} \]

定义: 整数

给定集合 \(X=\{ (x,y):x,y\in\mathbb{N} \}\)
然后定义等价关系 \(\sim\)

\[(x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\Leftrightarrow x_{1}+y_{2}=x_{2}+y_{1} \]

商集为 \(\mathbb{Z}=X /\sim\)
定义 \(\mathbb{Z}\) 上的加法为:

\[[(x_1, y_1)] + [(x_2, y_2)] := [(x_1 + x_2, y_1 + y_2)] \]

定义 \(\mathbb{Z}\) 上的乘法为:

\[[(x_1, y_1)] \cdot [(x_2, y_2)] := [(x_1 x_2 + y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1)] \]

若 \(x<y\), 则称 \([(x,y)]\) 为负数

由于加法和乘法中, 继承了 $\mathbb{N}$ 上的运算, 容易证明, 加法和乘法也是满足交换律和分配律的
且关于加法构成群, 因此 $\mathbb{Z}$ 是一个*环*

定理: 裴蜀定理 (Bézout's Identity)

两个整数 \(x, y\) 的最大公因数可表示为 \(d=ax+by\)
proof:
构造集合 \(S = \{ ax+by:a,b\in\mathbb{Z}, ax+by>0 \}\), 容易验证该集合非空
该集合的最小元记为 \(d\)

(1)证明 \(d\) 是公因数:
设 \(x\) 表示为如下形式

\[x=kd+r \]

其中 \(r\) 是余数, 并且 \(0<=r<d\). 现在证明 \(r=0\)
其中 \(d=a_{0}x+b_{0}y\)
因此 \(r\) 可表示为

\[r=(1-ka_{0})x-b_{0}y \]

若 \(r>0\), 则 \(r\in S\), 且 \(r<d\), 这是矛盾的. 因此 \(r=0\)
因此 \(d|x\), 同理 \(d|y\)

(2) 证明 \(d\) 是最大公因数
设 \(x,y\) 最大公因数为 \(d_{0}\), 则 \(d|d_{0}\)
由于 \(d_{0}\) 是公因数, 因此 \(d_{0}|ax+by\), 因此 \(d_{0}|d\)
因此 \(d_{0}=d\)

有理数的构造

构造集合 \(S\)

\[S = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\}) = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} \]

定义一个等价关系:

\[\frac{a}{b}\sim \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]

有理数集 \(\mathbb{Q}\) 定义为

\[\mathbb{Q} = S / \sim \]

在 \(\mathbb{Q}\) 上定义加法与乘法 (可以证明运算结果不依赖于等价类中代表元的选择)

\[\begin{align} & \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \\ & \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \end{align} \]


 容易证明 $(\mathbb{Q},\times)$ 是群, 因此 $\mathbb{Q}$ 是域
 很容易找到 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ 的保序嵌入映射

有理数不是完备的

完备性定义依赖于度量空间中的柯西列的定义.
从如下方程出发

\[x^{2}=2 \]

利用牛顿迭代法逼近根, 得到如下递推公式

\[x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) \]

由此得到的序列 \(\{ x_{n} \}\) 是递减的柯西列, 且极限 \(x\) 满足 \(x=\frac{1}{2}\left( x+\frac{2}{x} \right)\), 也即 \(x^{2}=2\)
容易证明 \(x \notin \mathbb{Q}\), 证明方法在初中教材中就有了.
从而证明了 \(\mathbb{Q}\) 是不完备的

2 实数

数学分析讲义_梅加强
数学分析_Apostol

2.1 标准实数模型

可以从集合公理出发, 从 \(\emptyset\) 构造 \(\mathbb{N}\), 构造 \(\mathbb{Z}\), 构造 \(\mathbb{Q}\), 然后从戴德金分割来构造 \(\mathbb{R}\), 并证明它的一些性质: 满足域公理, 序关系, 完备昕等. 反过来可以直接给出一些代数性质, 当一个集合满足这些 (我们通常需要的) 代数性质时, 就称它是一个实数集. 实数系有无数多个, 由于他们都满足相同的代数性质, 在必要的结构下是完全同构的.

标准实数模型

一个集合 \(\mathbb{R}\) 称为实数集, 当且仅当它是一个阿基米德有序完备域. 其严格公理化要求如下:
I. 域公理 (Field Axioms), \((\mathbb{R}, +, \cdot)\) 构成一个域:

\((\mathbb{R}, +)\) 是 Abel 群, 单位元为 \(0\).
\((\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)\) 是 Abel 群, 单位元为 \(1\), 且 \(1 \neq 0\) .
乘法对加法满足分配律.

II. 全序公理 (Total Order Axioms), 存在关系 \(\leq\) 满足:

自反性：\(x \leq x\)
反对称性：若 \(x \leq y\) 且 \(y \leq x\)，则 \(x = y\)
传递性：若 \(x \leq y\) 且 \(y \leq z\), 则 \(x \leq z\)
全序性：对任意 \(x, y\)，必有 \(x \leq y\) 或 \(y \leq x\)
与运算兼容：
- 若 \(x \leq y\)，则 \(x+z \leq y+z\)。
- 若 \(0 \leq x\) 且 \(0 \leq y\)，则 \(0 \leq xy\)。

III. 完备性公理 (Completeness Axiom)
设 \(A, B \subset \mathbb{R}\) 且非空。若 \(\forall a \in A, \forall b \in B\) 均有 \(a \leq b\)，则 \(\exists c \in \mathbb{R}\) 使得 \(a \leq c \leq b\) 对所有 \(a, b\) 成立。

推论:

0是唯一的
相反数是唯一的
\(\mathbb{R}\setminus \{ 0 \}\) 中的倒数是唯一的

2.2 戴德金构造

存在具有最小上界性的有序域\(\mathbb{R}\), 并且\(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\)
戴德金的构造是利用 \(\mathbb{Q}\) 来构造 \(\mathbb{R}\), 并赋予它乘法和加法结构, 使得它是一个域.

定义: 戴德金分划

戴德金分划是一个集合\(\alpha \subset \mathbb{Q}\), 且满足如下3条

\[\begin{array}{} \alpha\neq \emptyset, \alpha\neq \mathbb{Q} \\ \exists a \in \alpha \quad s.t. \quad \forall x \in \mathbb{Q},x<a\Longrightarrow x \in \alpha \\ \forall a \in \alpha,\exists a^{+}\in \alpha,\quad s.t.\quad a<a^{+} \end{array} \]

当有了实数后, 实际上一个分划就形如
$$
 (-\infty,r)\cap \mathbb{Q} =\{ a\in \mathbb{Q} :a<r \}, \quad r \in \symbb{R}
$$
这种分划的构造, 建立了 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{Q}$ 之间的桥梁

定义: \(R\)集

暂时将\(R\)集定义为全体戴德金分划构成的集
\(R\) 上的偏序关系就是 \(\subset\), 这可以根据[[0. 集合论#定义偏序集|偏序集]]的定义证明

定理: \(R\) 集的确界性

\(R\) 是有最小上界性的, 即 \(R\) 上的任意非空集合必有上确界

proof:

设\(A\subset R\)是非空集
设\(\alpha^{0}=\bigcup_{\alpha \in A}\alpha\), 将证明\(\alpha^{0}=\sup A\)

第一步证明\(\alpha^{0}\in R\):
显然\(\alpha^{0}\)满足分划的三条规则,因此\(\alpha^{0}\in R\)

第二步证明它是\(A\)的上确界
首先它的确是一个上界,因为

\[\forall \alpha \in A, \alpha \subset \alpha^{0},\quad \text{也就是}\alpha\leq\alpha^{0} \]

另外,比\(\alpha^{0}\)更小的不是\(A\)的上界
设\(\alpha^{-}<\alpha^{0}\), 必然

\[\exists b \in \alpha^{0}\setminus \alpha^{-} \]

并且有\(b \in \beta \in A\), 于是\(\alpha^{-}<\beta\)
因此\(\alpha^{-}\)不是上界

这样就证明了\(R\)的最小上界性.

定义: \(R\)上的加法运算

\[\alpha+\beta=\{ a+b:a\in \alpha,b\in \beta \} \]

规定\(0=\{ x \in \mathbb{Q}:x <0 \}\)
显然该加法满足交换律, 因为它继承了 \(\mathbb{Q}\) 中的交换律


容易证明$\alpha+\beta \in R$, $0 \in R$, $\alpha+0=\alpha$
由于交换律和结合律在 $\mathbb{Q}$ 中成立, 这也自然继承到了 $R$ 中

命题: \((R,+)\) 是 Abel 群

只要证明: 对于 \(\alpha \in R\), 它的加法逆存在, 且为

\[-\alpha=\{ x \in \mathbb{Q} : \exists r>0,\quad s.t.\quad -x-r \notin \alpha \} \]

即证明

\[0=\alpha+(-\alpha) \]

2.3 康托构造

等价的有理柯西列

设两个只含有理数的柯西序列, \(\{ x_{k} \},\{ y_{k} \}\), 定义等价性为

\[\lim_{ n \to \infty } x_{n}-y_{n}=0 \]

根据极限定义容易知道这的确是等价关系

康托定理

设全体有理柯西列构成集合 \(S = \{ \{ x_{n}\}\text{ is Cauchy Sequence}:x_{n} \in\mathbb{Q} \}\)
在上述等价关系下定义商集

\[R=\frac{S}{\sim} \]

并定义 \(R\) 上的加法和乘法为

\[\begin{align} [\{ x_{n} \}]+[\{ y_{n} \}]=[\{ x_{n}+y_{n} \}] \\ [\{ x_{n} \}]\times[\{ y_{n} \}]=[\{ x_{n}\times y_{n} \}] \end{align}\]

其序关系的定义依赖于柯西列的性质
那么这样构造的 \(R\) 满足实数模型公理.

2.4 复数

定义: 复数

给定集合 \(\mathbb{C}=\{ (x,y):x,y\in\mathbb{R} \}\)
然后定义 \(\mathbb{C}\) 上的加法和乘法分别为

\[\begin{align} (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}) & =(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) \\ (x_{1},y_{1})\times(x_{2},y_{2}) & = (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}, x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) \end{align} \]

显然有如下结论

\(\mathbb{C}\) 是一个域
\((0,1)^{2}=(-1,0)\)

命题: \(\mathbb{C}\) 无法成为一个有序域

不妨令 \((0,1)>(0,0)\), 因此有\((0,1)^{2}>(0,0)\)
因此 \((-1,0)>(0,0)\)

3 非标准分析下的实数模型

TODO

posted @ 2026-02-23 00:12 Ace233 阅读(0) 评论(0) 收藏举报

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