解题报告：Codeforces 768B Code For 1

Codeforces 768B Code For 1

题义

有一个序列，刚开始，只有1个数\(n\)，接着按照以下规则变化找到序列中任意一个\(>1\)的数\(p\)，将他变为 \(\lfloor\frac{p}{2}\rfloor\), \(p \% 2\), \(\lfloor\frac{p}{2}\rfloor\)。不断进行直到序列中只剩下\(0\)和\(1\)。要问你最后生成的\(01\)序列的区间和。

以\(n=17\)为例：

                    17
            8       1       8
        4   0   4       4   0   4
      2 0 2   2 0 2   2 0 2   2 0 2
     101 101 101 101 101 101 101 101
     -------------------------------
     1010101010101011101010101010101

俺的思路

观察上面那个树，我们可以发现一些对称性，并且每个\(>1\)的\(p\)生成的中间那个\(p \% 2\)不再变动，保留到最后的序列；\(\lfloor\frac{p}{2}\rfloor\)放在自己的两边，之后继续生成直到变成\(1\)。

我们可以先把每一层的\(p \% 2\)记录下来。最后的\(1\)也记录下来了。

vector<ll> v;
while(n>1){
	v.push_back(n%2);
	n/=2;
}
v.push_back(n);

后来一想好像根本不用vector，直接位移都可以。

然后大概可以通过一些关系找出每个\(p \% 2\)在生成序列中出现的位置？

下图中的数字\(i\)指代第\(i\)层的\(p \% 2\)，也即v的下标，从\(0\)开始。

                  0
          1               1
      2       2       2       2
    3   3   3   3   3   3   3   3
   4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
   -------------------------------
   4342434143424340434243414342434

好像规律也不是很难找，你看\(4\)的周期是\(2\)，\(3\)的周期是\(4\)，\(2\)的周期是\(8\)，\(1\)的周期是\(16\)，\(0\)的周期大概是\(32\)？

好像可以求前缀和了叭。我们大概可以算出来每个\(i\)在前\(x\)中出现的次数，

                    0
            1               1
        2       2       2       2
      3   3   3   3   3   3   3   3
     4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
     -------------------------------
     4342434143424340434243414342434

i=4: 112233445566778899aabbccddeeffg
i=3: 0111122223333444455556666777788
i=2: 0001111111122222222333333334444
i=1: 0000000111111111111111122222222
i=0: 0000000000000001111111111111111

然后乘上\(v_i\)，最后加起来就可以算到。

前缀和怎么算？

推出来这个东西，\(h\)是树高度，\(i\)是要求和的下标，\(x\)是前项数：

\[\lfloor\frac{x+2^{h-i-1}}{2^{h-i}}\rfloor \]

所以最终要求的前缀和

\[f(x) = \sum\limits_{i=0}^{h-1}v_i\cdot\lfloor\frac{x+2^{h-i-1}}{2^{h-i}}\rfloor \]

ll f(ll x){
	ll s = 0, h = v.size();
	wlf(i,0,h-1){
		s+=v[i]*((x+(1ll<<(h-i-1)))/(1ll<<(h-i)));
	}
	return s;
}

然后每次查询来个\(f(r)-f(l-1)\)就是答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define wlf(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;++i)
#define tbw(i,a,b) for(ll i=a;i>=b;--i)
#define fill0(b) memset(b,0,sizeof(b))
#define fill1(b) memset(b,-1,sizeof(b))
#define fill3f(b) memset(b,0x3f,sizeof(b))
#define nsort(a,n) sort(a+1,a+1+n)
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9+7;
const ll N = 1e5+10;

ll n,l,r;
vector<ll> v;

ll f(ll x){
	ll s = 0, h = v.size();
	wlf(i,0,h-1){
		s+=v[i]*((x+(1ll<<(h-i-1)))/(1ll<<(h-i)));
	}
	return s;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>l>>r;
	while(n>1){
		v.push_back(n%2);
		n/=2;
	}
	v.push_back(n);
	cout<<f(r)-f(l-1)<<endl;
	return 0;
}