数论杂项

数论分块

结论：对于正整数 \(n\)，对于所有正整数 \(d\leq n\)，\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\) 最多有 \(\left\lfloor2\sqrt{n}\right\rfloor\) 种不同取值。

证明：对于 \(d\leq \sqrt{n}\)，\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\) 最多有 \(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor\) 种不同取值。对于 \(d\gt \sqrt{n}\)，\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\) 最多有 \(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor\) 种不同取值。

对于上取整有类似结论。

结论：\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor=k\) 时，\(d\) 的取值范围是 \(\frac n{k+1}\lt d\leq \frac nk\)。

证明：由 \(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor=k\)，得

\[\begin{aligned} d\times k\leq &n\lt d\times(k+1)\\ \frac n{k+1}\lt &d\leq \frac nk \end{aligned} \]

所以当 \(\left\lfloor\frac ni\right\rfloor=\left\lfloor\frac nj\right\rfloor\) 时，\(j\) 的最大值为 \(\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor\)。

因此，枚举 \(i\) 时，跳过与当前除法向下取整结果相同的所有的 \(i\)，只需要将 \(i\) 设为 \(\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor+1\) 即可。

结论：\(\left\lceil\frac nd\right\rceil=k\) 时，\(d\) 的取值范围是 \(\frac nk\leq d\leq \frac{n-1}{k-1}\)。

证明：由 \(\left\lceil\frac nd\right\rceil=k\)，得

\[\begin{aligned} d\times (k-1)\lt &n\leq d\times k\\ \frac nk\leq &d\lt \frac{n}{k-1} \end{aligned} \]

即 \(\frac nk\leq d\leq \frac{n-1}{k-1}\)。

所以当 \(\left\lceil\frac ni\right\rceil=\left\lceil\frac nj\right\rceil\) 时，\(j\) 的最大值为 \(\left\lfloor\frac{n-1}{\left\lceil\frac ni\right\rceil-1}\right\rfloor\)。

数论函数

欧拉函数

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 定义为 \(n\) 以内与 \(n\) 互质的正整数个数。

将 \(n\) 分解质因数，设质因数集合为 \(\mathrm P\)，根据容斥原理，有欧拉函数计算公式：

\[\begin{aligned} \varphi(n)=&\sum_{1\leq i\leq m}(-1)^i\sum_{p_1,\dots,p_i\in \mathrm P}n\prod_{1\leq j\leq i}\frac 1{p_j}\\ =&n\prod_{p\in \mathrm P}\left(1-\frac1p\right) \end{aligned} \]

根据欧拉函数计算公式可以得到以下性质：

  1. （积性）\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\ (\gcd(a,b)=1)\)（听说计算公式用到了积性？注意上面计算公式的推导过程）。
  2. \(\varphi(p\dot a)=\begin{cases}p\varphi(a)&p|a\\(p-1)\varphi(a)&p\not|a\end{cases}\)
  3. \(\varphi(ab)=\frac{\varphi(a)\varphi(b)\gcd(a,b)}{\varphi[\gcd(a,b)]}\)。

另外的一些性质：

  1. \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)：考虑将 \(\frac1n\dots\frac nn\) 化为最简分数，原式表示的是这些分数的个数。

参考资料

posted @ 2022-01-20 21:58  e3c8f1a924  阅读(51)  评论(0)    收藏  举报