欧拉函数

欧拉函数的定义：

$1~N$中与$N$互质的数的个数被称为欧拉函数，记为$phi(N)$。在算数基本定理中，$N = p_{1}^{a_1}p_{2}^{a_2}p_{3}^{a_3}\cdot \cdot \cdot p_{m}^{a_m}$。

则$phi(N) = N*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})\cdot \cdot \cdot *(1-\frac{1}{p_m})$

根据欧拉函数的定义，我们可以将$N$分解质因数，再将其值乘入欧拉函数。

 

int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int res = x;
        for(int i = 2 ; i <= x / i ; i ++)
            if(x % i == 0)
            {
                res = res / i * (i - 1);
                while(x % i == 0)x /= i;
            }
        if(x > 1)res = res / x * (x - 1);
        printf("%d\n", res);

 

 筛法求欧拉函数：

因为欧拉函数需要分解质因数，所以在做筛法求素数的时候，可以一起求出欧拉函数。先设置初始的1的欧拉函数为1。

对于筛法求欧拉函数中，因为筛法求素数有三种情况，所以我们也需要分三种情况：

①当前的数$x$是质数，将$x$加入$primes$数组中，并将$x$的欧拉函数置为$x-1$。（因为$x$是质数，所以$1-x$里面和$x$互质的数有$x - 1$个）

②$p_j$是$i$的一个质因子，那么$i * p_j$的欧拉函数的值就是$p_j * phi[i]$。（$p_j$指代$primes[j]$）

因为$i\; mod \; p_j == 0$, $phi[i] = i  \left ( 1 - \frac{1}{p_1} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_2} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_3} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_k} \right )$ 。

所以$phi[i * p_j] = i * p_j  \left ( 1 - \frac{1}{p_1} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_2} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_3} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_k} \right )$。

即为$phi[i * p_j] = p_j * phi[i]$。

③$p_j$不是$i$的一个质因子，那么$i * p_j$的欧拉函数的值计算$(p_j - 1)*phi[i]$。

 $phi[i] = i  \left ( 1 - \frac{1}{p_1} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_2} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_3} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_k} \right )$ 。

因为$i\; mod \; p_j != 0$,所以$phi[i * p_j] =p_j * i  \left ( 1 - \frac{1}{p_1} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_2} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_3} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_k} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_j} \right )$

$phi[i * p_j] =p_j \left ( 1-\frac{1}{p_j} \right )phi[i]$。

$phi[i * p_j] = (p_j - 1)phi[i]$。

 

phi[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0 ; primes[j] * i <= n ; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }