负环

求负环的常用方法，基于spfa:
①统计每个点入队的次数，如果某个点入队n次，则说明存在负环。
②统计当前每个点的最短路中所包含的边数，如果某点的最短路所包含的边数大于等于n，则说明存在负环。

（dis的距离初始化不管为多少都不影响求负环）

通常用第二种方法。

bool spfa()
{
    memset(dist, 0, sizeof dist);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(st, 0, sizeof st);

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }

    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

 

https://www.acwing.com/problem/content/363/

acwing 361.观光奶牛

 

 

该题是01分数规划，和二分合在一起做。由题目，要求要求的是$\frac{\sum_{i = 1}^{n}f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n}t_{i}}$的最大值，所以我们在区间$[L, R]$上，对其进行二分，假设中点是$Mid$，要找到不满满足$\frac{\sum_{i = 1}^{n}f_{i}}{\sum_{i = 1}^{n}t_{i}} > Mid$的最大值，对公式进行化简：

$\sum_{i = 1}^{n}f_{i} > Mid \sum_{i = 1}^{n}t_{i} \leftrightarrow \sum_{i = 1}^{n}f_{i} - Mid \sum_{i = 1}^{n}t_{i} > 0$，由于我们可以将点权合并到出边的边权上，可以进一步化简：

$\sum_{i = 1}^{n}(f_{i} - Mid*t_{i})  > 0$，所以该问题等价于判断图中是否存在正环，如果存在，就到二分的右边找。如果不存在就到二分的左边找。

而求存在正环，可以将所有的权重取反值，也可以直接改为求最长路。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 5010;

int n, m;
int wf[N];
int h[N], e[M], wt[M], ne[M], idx;
double dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, wt[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool check(double mid)
{
    memset(dist, 0, sizeof dist);
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }

    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + wf[t] - mid * wt[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + wf[t] - mid * wt[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> wf[i];

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int j = 0; j < m; j ++ )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    double l = 0, r = 1e6;
    while (r - l > 1e-4)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }

    printf("%.2lf\n", l);

    return 0;
}

 

https://www.acwing.com/problem/content/1167/

acwing 1165.单词环

 

 

该题共三个点取药考虑：

①如何去建图

②01分数规划求最值

③因为数据很大，需要考虑一些优化

建图：如果直接用字符串的最后两个位去建图，一共26个字母，两位有676中选择，单词数量是$10^5$个，极端情况下，即所有字符串的字母全为相同，那么边数可到达$10^{10}$条边，时间空间都不允许。这时候我们要采取一种对偶的思想，即一个字符串$ababc$，我们将其看为是$ab$这个点连向$bc$这个点， 长度是5。这样边数就只有$10^5$条，而点数也变为676个。点变为边，边变为点，新的图和原来的图是等价的。

求最值：如上题的01分数规划求解。二分的范围是0 - 1000,0是取不到的。（每个字词都是1000的长度就是最大值1000）。

$\frac{\sum_{i = 1}^{n}w_{i}}{\sum1} > Mid$

$\sum_{i = 1}^{n}w_{i} > Mid \sum1 \leftrightarrow \sum_{i = 1}^{n}w_{i} - Mid  \sum1 > 0$

$\sum_{i = 1}^{n}(w_{i} - Mid*1)  > 0$,当$Mid$取0的时候没有正环,那么当$Mid$大于0的时候更不可能有正环。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 700, M = 100010;

int n;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
double dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool check(double mid)
{
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 0; i < 676; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }

    int count = 0;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i] - mid)
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i] - mid;
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if ( ++ count > 10000) return true; // 经验上的trick
                if (cnt[j] >= N) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    char str[1010];
    while (scanf("%d", &n), n)
    {
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            scanf("%s", str);
            int len = strlen(str);
            if (len >= 2)
            {
                int left = (str[0] - 'a') * 26 + str[1] - 'a';
                int right = (str[len - 2] - 'a') * 26 + str[len - 1] - 'a';//变为26进制数
                add(left, right, len);
            }
        }

        if (!check(0)) puts("No solution");
        else
        {
            double l = 0, r = 1000;
            while (r - l > 1e-4)
            {
                double mid = (l + r) / 2;
                if (check(mid)) l = mid;
                else r = mid;
            }

            printf("%lf\n", r);
        }
    }

    return 0;
}