判断质数与筛质数

　　

　　一：判定质数

　　要判断一个数是不是质数，只需遍历小于等于它的所有数，如果它能被除了1和本身之外的数整除，那么它就不是质数。

很简单，暴力枚举，代码如下：

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i < x ; i ++ )
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

但是还可以优化，对于一个数$x$，它有一个约数$d$，那么$\frac{x}{d}$也是$x$的约数，所以我们只需要枚举较小的一个就可以了，即$d <\frac{x}{d}$ ，即我们只需枚举到$\sqrt{x}$即可。

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

时间复杂度就从原本的$O(n)$降为了$O(\sqrt{n})$。

　　　

　　    二：分解质因数

由上面，我们知道$x$中最多只包含一个大于$\sqrt{x}$的质因子，如果有两个就大于$x$了，矛盾。所以我们先枚举小于等于$\sqrt{x}$的质因子，再特判一下大于$\sqrt{x}$的质因子即可。代码如下：

void solve(int n){
    for(int i = 2; i <= n / i ; i ++)
    {
        if( n % i == 0){
            int s = 0;
            while(n % i == 0){
                n /= i;
                s ++;
            }
            cout << i << " " << s << endl;
        }
    }
    if(n != 1)cout << n << " " << 1 << endl;
}

　

　　　三：（1）筛法求质数

思想是，将$2\sim n$之间的数枚举，从前往后，依次将每一个数的倍数筛掉，用一个$primes$数组存储质数，代码如下：

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

当$i = 2$，循环$\frac{n}{2}$次， 当$i = 3$ ，循环$\frac{n}{3}$次。所以一共循环$\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}+\cdot \cdot \cdot \frac{n}{n}=n\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n} \right )$，当$n$趋于无穷时，调和级数趋于$lnn + c$。

所以该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$。这个复杂度是计算将每一个数的倍数筛掉的时间复杂度，而代码中的只将素数的倍数筛掉的复杂度会更低一些，为$O(nloglogn)$。

($1 \sim  n$ 中有$\frac{n}{lnn}$个素数）。

　　

　　（2）线性筛法：

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

将每一个质数加入，然后该质数去筛掉该质数的倍数。当$i \;mod\; primes[j] == 0$时，$primes[j]$一定是$i * primes[j]$的最小质因子，也一定是$i$的最小质因子。当$i \;mod\; primes[j] != 0$时，说明$primes[j]$小于$i$的所有质因子，所以$primes[j]$也一定是$primes[j] * i$的最小质因子。对于一个合数$x$,假设$primes[j]$是他的最小质因子，当$i$枚举到$\frac{x}{primes[j]}$的时候，（$\frac{x}{primes[j]}$一定比$x$先枚举到）,$x$就会在循环内被筛掉。由于每一个数只有一个最小质因子，所以是线性的。