题解 nflsoj204 排列
先不考虑字典序的问题。思考如何构造最小答案。
从高到低考虑每一个二进制位。记最高位为第\(29\)位，最低位为第\(0\)位。找到一个最大的\(b\)使得\(\forall t\in[b+1,29]\)，所有\(n\)个数的第\(t\)位全部相同（要么全\(0\)要么全\(1\)），而第\(b\)位则既有\(0\)又有\(1\)。当所有\(n\)个数的某一位全部相同时，答案的这一位一定是\(0\)，不会被排列\(p\)影响。即，对于所有\(a_{p_i}\operatorname{XOR}a_{p_{i+1}}\)，比\(b\)高的位一定是\(0\)，且至少有一组异或值的第\(b\)位是\(1\)。那么，我们的目标就是要让异或值第\(b\)位为\(1\)的这两个数，前\(b-1\)位的异或值尽量小。而异或值第\(b\)位为\(0\)的两个数，前\(b-1\)位无论怎么瞎折腾都不影响答案。
于是有一种构造方法是，把第\(b\)位为\(0\)的数全部排在前面，把第\(b\)位为\(1\)的数全部排在后面。前后部分相接位置，我们精心挑选两个数，使得它们的前\(b-1\)位的异或值最小。如何挑选出这两个数？我们可以把前半部分的数全部插入一棵01trie里。然后用后半部分的每个数去trie上匹配一个和它异或值最小的数，挑所有匹配结果里最小的一对，作为前后部分的连接者即可。
到此，我们能\(O(n\log a)\)求出一种构造方案，使\(\max\{a_{p_i}\operatorname{XOR}a_{p_{i+1}}\}\)最小。但不能保证是字典序最小的方案。
记\(\max\{a_{p_i}\operatorname{XOR}a_{p_{i+1}}\}\)的最小值为\(ans\)。如果一对数，它们的第\(b\)位分别为\(0\)和\(1\)，且它们异或值等于\(ans\)，则称这两个数为一对“连接者”。我们可以在求出\(ans\)的同时把连接者的数量顺便计算出来。（这个数量可能是\(O(n^2)\)级别的，因此只能求出数量，不必把每一对是谁具体求出来。并且，通过记录每一种值的出现次数，我们可以快速求出由某个值产生的连接者数量，这就够了）
为了使字典序最小，我们按顺序依次构造\(p_1\dots p_n\)。枚举每一位填什么数，再check这一位填这个数之后是否可行（后面的位置是否至少有一组合法的构造方案，合法指的是任意相邻位置的异或值不超过\(ans\)）。
考虑如何check \(p\)的第\(i\)位能否填\(x\)。
- 首先，因为\(p\)是一个排列，如果\(x\)已经在\(p\)的前\(i-1\)位中出现过了，则不能填。
- \(i>1\)时，为了使\(a_{p_i}\operatorname{XOR}a_{p_{i-1}}\leq ans\)，则\(a_x\)必须满足如下两个条件之一：
- 要么，\(a_x\)的第\(b\)位和\(a_{p_{i-1}}\)的第\(b\)位相同（只要第\(b\)位相同，前\(b-1\)位就没有限制）；
- 要么，\(a_x\)和\(a_{p_{i-1}}\)是一对连接者。
- 同时，要使得第\(i+1\)到第\(n\)位，也就是剩下的数中，至少存在一种排列方法，使得相邻两数的异或值不超过\(ans\)。要满足这个条件，必须符合如下两条之一：
- 要么，剩下的数的第\(b\)位全部相同；
- 要么，剩下的数中，存在至少一对连接者。
我们用一个两个变量，记录剩下的数中，第\(b\)位为\(0\)和为\(1\)的数分别还剩多少个。用一个map，记录剩下的数中，每个值出现了多少次，这样可以快速求出连接者数量的变化。大力枚举\(i\)和\(x\)，\(O(1)\) check，我们得到了一个\(O(n^2)\)的算法。
考虑优化。把枚举\(x\)的过程优化掉。可以用set维护满足条件2的所有\(x\)的值。之所以用set是因为set支持快速删除，每确定了一个\(p_i\)就把这个值删掉，这样保证了条件1得到满足。
具体地，满足条件2的\(x\)，要么满足条件2.1，即第\(b\)位与\(a_{p_{i-1}}\)相同，我们用0/1两个set维护即可。要么满足条件2.2，即\(a_{x}=a_{p_{i-1}}\operatorname{XOR}ans\)，用\(O(n)\)个set维护每个值在序列中的出现位置即可。
这样，所有满足条件2的\(x\)，就在两个set中。我们只需要check条件3即可。可以发现，只需要尝试条件2.1的set的前2个元素，和条件2.2的set的前1个元素，就一定能找到一个符合条件3的\(x\)。即：最多只需要做3次check。
时间复杂度\(O(n\log n)\)。
参考代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
namespace Fread{
const int MAXN=1<<20;
char buf[MAXN],*S,*T;
inline char getchar(){
if(S==T){
T=(S=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin);
if(S==T)return EOF;
}
return *S++;
}
}//namespace Fread
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#endif
template<typename T>inline void read(T &x){
x=0;int f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();
x*=f;
}
/* ------ by:duyi ------ */ // myt天下第一
const int MAXN=3e5;
int n,a[MAXN+5],p[MAXN+5];
int ch[MAXN*30+5][2],num[MAXN*30+5],tot,mn;
ll totnum;
map<int,int>mp;
set<int>s[MAXN+5];
void ins(int mask){
//cout<<"ins "<<mask<<endl;
int u=1;
for(int i=29;i>=0;--i){
if(!ch[u][(mask>>i)&1])ch[u][(mask>>i)&1]=++tot;
u=ch[u][(mask>>i)&1];
}
num[u]++;
}
void query(int mask){
//cout<<"qu? "<<mask<<endl;
int u=1,ans=0;
for(int i=29;i>=0;--i){
if(!ch[u][(mask>>i)&1]){
//cout<<i<<" "<<(((mask>>i)&1)^1)<<endl;
ans^=(1<<i);
u=ch[u][((mask>>i)&1)^1];
assert(u!=0);
}
else{
//cout<<i<<" "<<((mask>>i)&1)<<endl;
u=ch[u][(mask>>i)&1];
}
}
if(ans<mn){
mn=ans;
totnum=0;
}
if(ans==mn){
totnum+=num[u];
}
}
int r[2],b;set<int>v0,v1;
bool check(int x){
if(!s[mp[a[x]]].size())return 0;
ll tmp=totnum-(!mp.count(a[x]^mn)?0:s[mp[a[x]^mn]].size());
r[(a[x]>>b)&1]--;
if(tmp||!r[0]||!r[1]){
if((a[x]>>b)&1)v1.erase(x);
else v0.erase(x);
s[mp[a[x]]].erase(x);
totnum=tmp;
return 1;
}
r[(a[x]>>b)&1]++;
return 0;
}
int main() {
// freopen("data.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
read(n);
for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=i;
for(b=29;b>=0;--b){
v0.clear();v1.clear();
for(int i=1;i<=n;++i)if((a[i]>>b)&1)v1.insert(i);else v0.insert(i);
if(SZ(v0)&&SZ(v1)){
tot=1;mn=(1<<30);
for(int i=1;i<=n;++i)if(!((a[i]>>b)&1))ins(a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)if((a[i]>>b)&1)query(a[i]);
int cnt_id=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(!mp[a[i]])mp[a[i]]=++cnt_id;
s[mp[a[i]]].insert(i);
}
r[0]=SZ(v0),r[1]=SZ(v1);
for(int i=1;i<=n;++i){
p[i]=0;
if(i==1){
for(int x=1;x<=n;++x)if(check(x)){p[i]=x;break;}
}
else{
if((a[p[i-1]]>>b)&1){
set<int>::iterator it1=v1.begin();
int id=(!mp.count(a[p[i-1]]^mn)?0:mp[a[p[i-1]]^mn]);
set<int>::iterator it2=s[id].begin();
while(it1!=v1.end()&&it2!=s[id].end()){
assert(!(*it1)!=(*it2));
if((*it1)<(*it2)){
int x=(*it1);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it1;
}
else{
int x=(*it2);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it2;
}
}
if(p[i])continue;
while(it1!=v1.end()){
int x=(*it1);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it1;
}
while(it2!=s[id].end()){
int x=(*it2);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it2;
}
}
else{
set<int>::iterator it1=v0.begin();
int id=(!mp.count(a[p[i-1]]^mn)?0:mp[a[p[i-1]]^mn]);
set<int>::iterator it2=s[id].begin();
while(it1!=v0.end()&&it2!=s[id].end()){
if((*it1)<(*it2)){
int x=(*it1);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it1;
}
else{
int x=(*it2);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it2;
}
}
if(p[i])continue;
while(it1!=v0.end()){
int x=(*it1);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it1;
}
while(it2!=s[id].end()){
int x=(*it2);
if(check(x)){p[i]=x;break;}
++it2;
}
}
}
assert(p[i]);
}
break;
}
}
//int ans=0;for(int i=1;i<n;++i)ans=max(ans,a[p[i]]^a[p[i+1]]);cout<<ans<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",p[i]);puts("");
return 0;
}
