HDU_3071 Gcd & Lcm game 【素数分解 + 线段树 + 状压】
一、题目
二、分析
非常好的一题。
首先考虑比较暴力的做法，肯定要按区间进行处理，对于$lcm$和$gcd$可以用标准的公式进行求，但是求$lcm$的时候是肯定会爆$long long$的。
考虑用素数分解，将所有的数分解后，发现素因子的个数有限，且每个因子的幂也有限，最多的也就是$2^_6$，然后可以考虑将素因子用二进制的每一位进行表示。对于$2,3,5,7$可能会要的多点，所以多给给几位就可以了，最后发现，刚好可以$32$位以内。
这里就需要写两个转换函数，然后利用$gcd$和$lcm$的性质进行求解和变换。最后考虑区间查询和单点修改，再用一个线段树即可。
三、AC代码
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; #define ll long long #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a)) #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define lson (rt<<1) #define rson (rt<<1|1) const int MAXN = 1e5; struct Node { int L, G; }segTree[MAXN<<2]; int Prime[25] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}; int Pos[25] = {28,25,23,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}; inline int Gcd(int x, int y) { //最后是相&，如果继续用Min，相当于只用了一个导致WA return Min(x&0x70000000, y&0x70000000) | Min(x&0x0e000000, y&0x0e000000) | Min(x&0x01800000, y&0x01800000) | Min(x&0x00600000, y&0x00600000) | ((x&0x001fffff)&(y&0x001fffff)); } inline int Lcm(int x, int y) { return Max(x&0x70000000, y&0x70000000) | Max(x&0x0e000000, y&0x0e000000) | Max(x&0x01800000, y&0x01800000) | Max(x&0x00600000, y&0x00600000) | ((x&0x001fffff)|(y&0x001fffff)); } //将x质因素分解，并用二进制表示 inline int Turn(int x) { int res, ans = 0; for(int i = 0; i < 25 && x > 1; i++) { res = 0; while(x%Prime[i] == 0) { res++; x/=Prime[i]; } ans |= (res<<Pos[i]); } return ans; } int Mi2[] = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}; int Mi3[] = {1, 3, 9, 27, 81}; int Mi5[] = {1, 5, 25}; int Mi7[] = {1, 7, 49}; //将二进制表示的数转转换成原来的数并取模 inline int Get(int x, int p) { ll ans = 1; int res = x>>Pos[0]; x ^= res<<Pos[0]; //消去表示2的位上的数 ans = ans*Mi2[res]%p; //求3的指数并消去 res = x>>Pos[1]; x ^= res<<Pos[1]; ans = ans * Mi3[res] % p; //求5的指数并消去 res = x>>Pos[2]; x ^= res<<Pos[2]; ans = ans * Mi5[res] % p; //求7的指数并消去 res = x>>Pos[3]; x ^= res<<Pos[3]; ans = ans * Mi7[res] % p; for(int i = 4; i < 25; i++) { if((x>>Pos[i])&1) { ans = ans * Prime[i] % p; } } return ans % p; } void Push_up(int rt) { segTree[rt].G = Gcd(segTree[lson].G, segTree[rson].G); segTree[rt].L = Lcm(segTree[lson].L, segTree[rson].L); return; } void Build(int rt, int l, int r) { if(l == r) { int a; scanf("%d", &a); segTree[rt].G = Turn(a); segTree[rt].L = Turn(a); return; } int mid = (l + r) >> 1; Build(lson, l, mid); Build(rson, mid + 1, r); Push_up(rt); } void Change(int rt, int l, int r, int pos, int val) { if(l == r) { segTree[rt].G = Turn(val); segTree[rt].L = segTree[rt].G; return; } int mid = (l + r) >> 1; if(pos <= mid) { Change(lson, l, mid, pos, val); } else if (pos > mid) { Change(rson, mid + 1, r, pos, val); } Push_up(rt); } int anslcm, ansgcd; void Query_lcm(int rt, int l, int r, int L, int R) { if(L <= l && r <= R) { anslcm = Lcm(anslcm, segTree[rt].L); return; } int mid = (l + r) >> 1; if(L <= mid) { Query_lcm(lson, l, mid, L, R); } if(R > mid) { Query_lcm(rson, mid + 1, r, L, R); } } void Query_gcd(int rt, int l, int r, int L, int R) { if(L <= l && r <= R) { ansgcd = Gcd(ansgcd, segTree[rt].G); return; } int mid = (l + r) >> 1; if(L <= mid) { Query_gcd(lson, l, mid, L, R); } if(R > mid) { Query_gcd(rson, mid + 1, r, L, R); } } int main() { //freopen("input.txt", "r", stdin); int N, Q; while(scanf("%d%d", &N, &Q) != EOF) { Build(1, 1, N); char s[2]; for(int i = 0; i < Q; i++) { scanf("%s", s); int a, b, c; if(s[0] == 'L') { anslcm = 0; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); Query_lcm(1, 1, N, a, b); int ans = Get(anslcm, c); printf("%d\n", ans); } else if(s[0] == 'G') { ansgcd = 0x7fffffff; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); Query_gcd(1, 1, N, a, b); int ans = Get(ansgcd, c); printf("%d\n", ans); } else { scanf("%d%d", &a, &c); Change(1, 1, N, a, c); } } } return 0; }
