对四元数的一些理解
对四元数的一些理解
编写时间：2017-5-23
1、先看个小视频，对四元数有点印象：【Numberphile数字狂】神奇四元数 @柚子木字幕组
2、再来四元数的基本概念，这篇文章是我找到的最好的,基本上四元数讲得比较详细了
：Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》
3、有了上面的基础后我们知道了一个公式：p′=qpq−1
因为看了一些资料，但是基本只有公式，对于为何这样旋转很多都避重就轻，就演示公式怎么算出结果，
基本没有见到讲为什么这样旋转的，氛围有这么差？有点气。
这里记录下对个人对四元数旋转的理解，许久不碰数学很多内容忘了都是跟着上面第二条的内容边看
边查。对旋转的理解也只能算是由结果猜原理，对此仍然有许多不理解的地方。
三维中p点绕三维向量v旋转Θ时q=(cos(Θ/2),sin(Θ/2)v)，比如我们需要旋转90°，这里却分成了2个45°。
我对这里的理解是：如果不是特殊情况的话qp结果将是一个普通的四维数，这没办法正确地映射到
三维超平面（第四维为0的特殊的四维），因为第四维不为零,结果就不与我们最初的点在同一三维空间。
为了解决这个问题，所以先只旋转一半，再用逆反过来旋转另一半，这样正好将第一次旋转产生的第四
维变为0，这样就能正确地映射到三维超平面。
第一次旋转使用右手螺旋，第二次旋转应该用逆的左手螺旋。
例如：
以下格式不特别说明都是（x,y,z,w),w为第四维，与一般常用的（w,x,y,z)格式有点区别，但不影响结果。
p=(1,2,3,0)//需要旋转的3维点坐标为（1，2，3）
q=(a,b,c,d)//旋转轴与角度的组合
q-1=(-a,-b,-c,d)//q的逆等于q*（这里是单位四元数:a2+b2+c2+d2=1,q-1=q*/|q|2=q*）
四元数乘积公式：
qaqb=[Sa,A][Sb,B] //A,B是三维向量，Sa,Sb是实数
=[SaSb-A·B , SaB+SbA+AxB] //向量的 “·” 乘与 “x” 乘
qp =(3b-2c+d,3a-c+2d,2a-b+3d,a+2b+3c)//右手螺旋的正旋转
pq-1=(3b-2c+d,3a-c+2d,2a-b+3d,-a-2b-3c)//逆的左手螺旋正旋转？不知道是不是这样说的
通过qp与pq-1的结果对比我们发现这2个旋转的结果除了第四维互为相反数，前三维的结果是一样
的。如果只看前三维部分，就是沿着相同的方向转过了相同的角度，到达相同的位置。加上第四维互
为相反数，我们可以大胆猜想一下是否可以通过这样连续的2次旋转将不为零的第四维抵消，重回三维
超平面（纯四维数），即我们需要旋转的点同一个三维空间？这不就是四元数旋转公式p′=qpq−1吗，
p'第四维就是0。
这也就是为什么我们经常看到的四元数旋转时，为什么三维中p点绕三维向量v旋转Θ时q=(cos(Θ/2),
sin(Θ/2)v)（这是常用表示法第四维在前）其中为什么Θ/2与2维旋转(x+y*i)*(cosΘ+sinΘ*i)的Θ不同,因为2维一次
旋转就可以了，四元数却要连续旋转2次相同角度来抵消第四维的变化所以当然是Θ/2了。
从这里借个图：四元数与旋转
然后自己画了一个图（将pq-1移动到（qp)q-1的位置）
四元数的差:
所谓的 “差”,被定义为一个方位到另一个方位的角位移,顺序是不能错的,从左向右.
由 P1P'=P2
=> P1-1P1P'=P1-1P2
=> EP'=P1-1P2
=> P'=P1-1P2
