高维无粘Burgers方程笔记

考虑n维Burgers方程：

\[\left\{\begin{aligned} &\vec u_t+(\vec u\cdot\nabla)\vec u=0,\\ &\vec u(0,x)=\vec u_0(x). \end{aligned}\right.\]

这里$u$是一个$\mathbb{R}^n$上的向量场. 后续为了简单起见，我们省略$u$上表示向量的箭头符号.
这个方程是能产生激波的最简单模型之一（有可能甚至没有之一）.

特征线方法

Burgers方程的解法是早已广为人知的特征线方法. 定义特征线$\varphi(t,x)=\varphi_t(x):=x+tu_0(x)$，则有

\[\frac{d}{dt}[u(t,\varphi(t,x))]=u_t+(u\cdot\nabla)u=0. \]

即$u$沿着$\varphi(t,x)$是常向量. 于是我们可以把解写为

\[u(t,x)=u_0(\varphi_t^{-1}(x)). \]

接下来我们考察一些几何量沿着特征线的演化情况.

$\nabla u$沿着特征线的变化规律
把Burgers方程写为分量形式：

\[\partial_tu_i+u_j\partial_ju_i=0. \]
对上式求$\partial_{k}$，得到

\[\partial_t\partial_{k}u_i+u_j\partial_j\partial_ku_i=-\partial_ku_j\partial_ju_i. \]
这意味着

\[\partial_t\nabla u+(u\cdot\nabla)\nabla u=-(\nabla u)^2. \]
于是，沿着特征线，有

\[\frac{d}{dt}\nabla u(t,\varphi_t(x))=-\nabla u(t,\varphi_t(x))^2. \]

$\operatorname{div} u$沿着特征线的变化规律
由$\frac{d}{dt}\nabla u = -(\nabla u)^2$可得： $$\frac{d}{dt}(\operatorname{div} u) = \frac{d}{dt}(\operatorname{tr}\nabla u) = -\operatorname{tr}(\nabla u)^2 = -\sum_{i=1}^n \lambda_i^2.$$

$\nabla u$的实特征值沿着特征线的变化规律
假设沿着某根特征线，$\nabla u$的实特征值$\lambda$对应的右特征向量为$N$，左特征向量为$L^t$，且$L^tN=1$. 对$\nabla u\cdot N=\lambda N$沿着特征线求导，得到

\[-(\nabla u)^2N+\nabla u\frac{dN}{dt}=\frac{d\lambda}{dt}N+\lambda\frac{dN}{dt} \]
整理一下即得

\[\frac{d\lambda}{dt}N=-\lambda^2N+(\nabla u-\lambda I)\frac{dN}{dt}. \]
左乘$L^t$，得到

\[\begin{aligned} \frac{d\lambda}{dt}&=-\lambda^2+L^t(\nabla u-\lambda I)\frac{dN}{dt}\\ &=-\lambda^2+(\lambda -\lambda)L^t\frac{dN}{dt}\\ &=-\lambda^2. \end{aligned}\]

整体解和爆破解的判别准则

在这一节里，我们只考虑光滑的初值，即一直假定$u_0\in [C^\infty(\mathbb{R}^n)]^n$.

显见，在这个假设下，只要当$t\in[0,T]$时$\varphi_t(x)=x+tu_0(x)$都是$\mathbb{R}^n$到自身的光滑同胚（即本身是同胚，并且自身和其逆都是光滑映射），那么$u(t,x):=u_0(\varphi_t^{-1}(x))$是在$[0,T]\times\mathbb{R}^n$上良定义的光滑函数，且$u(t,x)$恰是Burgers方程的解. 但是，如果反过来，我们则需要下面的命题：

命题1. 若$u\in C^\infty([0,T]\times\mathbb{R}^n)$是以$u_0$为初值的解，那么对$t\in[0,T]$，$\varphi_t$均为$\mathbb{R}^n$到自身的光滑同胚.
证明. $t=0$时$\varphi_0$是恒等映射，当然是光滑同胚. 现在固定$t\in(0,T]$，来证$\varphi_t$是光滑同胚. 事实上，由于$\varphi_t$本身已经是光滑映射，我们只需证它有逆映射，且逆映射也是光滑映射即可.

令$g(x)=x-tu(t,x)$，我们来验证$g$是$\varphi_t$的逆映射. 首先由$u$的光滑性，可验证对任何$x\in\mathbb{R}^n$，均有$u(t,\varphi_t(x))=u_0(x)$，以及$u(t,x)=u_0(g(x))$. 于是我们有

\[g(\varphi_t(x))=\varphi_t(x)-tu(t,\varphi_t(x))=x+tu_0(x)-tu_0(x)=x, \]
\[\varphi_t(g(x))=g(x)+tu_0(g(x))=x-tu(t,x)+tu(t,x)=x. \]
所以$g$是$\varphi_t$的逆映射.

但是由于$u\in C^\infty([0,T]\times\mathbb{R}^n)$，所以$g$也是光滑的. 这说明$\varphi_t$是光滑同胚. $\square$

这告诉我们，解的爆破只能来源于$\varphi_t$本身从某个时刻起不再是光滑同胚. 我们来证明这对紧支光滑初值来说是唯一的可能性.

命题2. 如果$u_0$是紧支光滑的，则$\varphi_t$不可能一直是单的，从而不可能一直是光滑同胚.
证明. 取$x\in\mathbb{R}^n$使得$u_0(x)\ne0$. 那么由于$\operatorname{supp}u_0$是紧的，所以存在$T$充分大, 使得$\varphi_T(x)\notin\operatorname{supp}u_0$. 根据$\varphi_t$的定义,

\[\varphi_T(\varphi_T(x))=\varphi_T(x)+T\cdot \underbrace{u_0(\varphi_T(x))}_{=0}=\varphi_T(x). \]
所以$\varphi_T$不是单射. $\square$

另一方面，我们将要给出整体光滑解存在的一个判据.

在开始整体解的讨论之前，我们需要引入Hadamard–Lévy定理，用于判断$\mathbb{R}^n$到自身的浸入（即Jacobi矩阵处处非奇异的光滑映射）什么时候是一个光滑同胚. 这个定理我是在李大潜的《Global Classical Solutions for Quasilinear Hyperbolic Systems》中找到的，并且此书的定理3.1已经处理了高维的Burgers方程. 但是为了整理我自己的思路，我还是继续写这个笔记.

Hadamard–Lévy定理(可以参考arxiv上的这篇小文章，或是mathstackexchange上的这个提问). 设$\varphi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$是光滑浸入. 如果$\varphi$满足$|x|\rightarrow\infty$时$|\varphi(x)|\rightarrow\infty$，那么$\varphi$是其实是$\mathbb{R}^n$到自身的光滑同胚.
证明. 本证明改写自mathoverflow上的这个问题下的回答.

首先我们来证$\varphi$是逆紧映射（proper map），即紧集的原象是紧集. 设$K\subset\mathbb{R}^n$是紧的, 那么由$\varphi$连续性知$\varphi^{-1}(K)$是闭的. 又由反证法容易知道$\varphi^{-1}(K)$是有界的. 所以$\varphi^{-1}(K)$是紧的.

但是逆紧的满的局部微分同胚是覆叠映射, 所以$\varphi$是覆叠映射. 但是目标空间单连通的覆叠映射只能是同胚(即必须是单叶的), 故$\varphi$是$\mathbb{R}^n$到自身的微分同胚. $\square$

为了检查Burgers方程的特征线诱导的光滑映射$\varphi_t:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$什么时候是浸入，我们计算$\varphi_t$的Jacobi矩阵：

\[\begin{align} \det J_x\varphi_t(x)&=\det(I+t\nabla_xu_0(x))\\ &=(-t)^n\det(-t^{-1}I-\nabla_xu_0(x))\\ &=(-t)^n(-t^{-1}-\lambda_1)\cdots(-t^{-1}-\lambda_n)\\ &=(1+\lambda_1t)\cdots(1+\lambda_nt). \end{align}\]

其中$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$是$\nabla u_0(x)$的$n$个特征值.

推论1. 假设初值的增长不太快：存在$\varepsilon\in(0,1)$以及$K>0$，使得对任何$x\in\mathbb{R}^n$，均有$|u_0(x)|\le K(1+|x|)^\varepsilon$. 如果对任何$x\in\mathbb{R}^n$，矩阵$\nabla u_0(x)$没有负的实特征值，那么对任何$t\ge0$，光滑映射$\varphi_t(x)=x+tu_0(x)$是光滑同胚.
证明. 设$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0)$是$\nabla u_0(x)$的$n$个特征值. 由于$\det J_x\varphi_t(x)=(1+\lambda_1t)\cdots(1+\lambda_nt)\ne0$，所以$\varphi_t$是$\mathbb{R}^n$到自身的光滑浸入. 由$|\varphi_t(x)|\ge|x|-K(1+|x|)^\varepsilon$可得$|x|\rightarrow\infty$时$|\varphi_t(x)|\rightarrow\infty$，故由Hadamard–Lévy定理可知$\varphi_t$是光滑同胚. $\square$

利用推论1，我们可以得到初值增长不太快时，整体光滑解存在的充分条件.

推论2. 假设初值的增长不太快：存在$\varepsilon\in(0,1)$以及$K>0$，使得对任何$x\in\mathbb{R}^n$，均有$|u_0(x)|\le K(1+|x|)^\varepsilon$. 如果对任何$x\in\mathbb{R}^n$，矩阵$\nabla u_0(x)$没有负的实特征值，那么$u_0$对应的解是整体解.
证明. 由推论1可知，$u(t,x):=u_0(\varphi_t^{-1}(x))$是$[0,+\infty)\times\mathbb{R}^n$上良定义的函数，并且是光滑的，通过链式法则还能验证它是Burgers方程以$u_0$为初值的解. 显然$u$是整体的. $\square$

由推论2可知，如果想要$\varphi_t$在某个时刻不再是微分同胚，那么我们需要存在某点$x\in\mathbb{R}^n$使得$\nabla u_0(x)$的某个特征值$\lambda_i$是负数. 但是我们已经证明了所有的紧支光滑初值都会演化为爆破解，所以任何紧支光滑向量场的Jacobi矩阵都不可避免地在某处有负的实特征值. 我们把这个写成推论.

推论3. 假设$u_0$是$\mathbb{R}^n$上的紧支光滑向量场，那么一定存在$x\in\mathbb{R}^n$使得$\nabla u_0(x)$有负的实特征值.

我们把紧支光滑初值对应的解一定会爆破写成定理.

定理1. 所有紧支光滑的初值，都会演化成有限时间内爆破的解. 即对任何$\mathbb{R}^n$上的紧支光滑向量场$u_0$，都一定存在$x\in\mathbb{R}^n$，使得$\nabla u_0(x)$有负实特征值.

事实上，在尝试证明定理1的过程中，还得到了其他一些有意思的东西. 这里稍微记录一下.

下面这个二维情形的证明，是在AI的帮助以及和群友的讨论下找到的.

定理1在$n=2$时的另证：
这里记向量场$u_0$为$v$，我们来证$\nabla v$一定在某处有实负特征值.

首先，从散度定理可得

\[0=\int_{\mathbb{R}^2}\operatorname{div}v\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^2}\operatorname{tr}\nabla v\mathrm{d}x. \]
此外，还有

\[0=\int_{\mathbb{R}^2}\operatorname{div}(v_1\partial_{x_2}v_2,-v_1\partial_{x_1}v_2)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^2}\det\nabla v\mathrm{d}x. \]
现在我们使用反证法，假定$\nabla v$在任何地方都没有负的特征值。
此时分成复特征值和非负特征值的情况讨论，可以证明$\det\nabla v\ge0$. 然而$\det\nabla v$的积分是0，所以必有$\det\nabla v$恒为零. 这也说明对任何$x$，$\nabla v(x)$的特征值均为实的，而且其中有一个是0. 那么此时由于$\operatorname{tr}\nabla v$是两个特征值之和，所以其中一个特征值是$\operatorname{tr}\nabla v$. 于是根据假定，$\operatorname{tr}\nabla v(x)\ge0$，可是$\operatorname{tr}\nabla v(x)$的积分是0，所以$\operatorname{tr}\nabla v(x)$恒为零.
由于$v$是无散的，所以存在流函数$\psi$使得$v=\nabla^\perp\psi=(-\partial_{x_2}\psi,\partial_{x_1}\psi)$，并且通过加减一个常数，可以假定$\psi$是紧支的. 此外，另一个条件$\det\nabla v=0$则化为齐次Monge-Ampère方程：

\[\det\nabla^2\psi=0. \]
用一个足够大的圆$\Omega$包裹住$\operatorname{supp}\psi$，在$\Omega$上使用Alexandrov极大值原理（见这个讲义的定理2），可得$\psi$恒为零，于是$v$恒为零。这与$v$非平凡矛盾，所以我们的假设“$\nabla v$在任何地方都没有负的特征值”是不成立的. $\square$

在尝试处理$n$维情况的过程中，意外得到了一些和紧支光滑向量场有关的零积分性质（命题3）. 这些性质除了假定向量场紧支光滑之外，没有任何额外的假定.

设$v$是$\mathbb{R}^n$上的紧支光滑向量场，对$\nabla v$的特征值$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}$，定义它们的$k$阶初等对称多项式为

\[e_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n):=\sum_{1\le j_1<\cdots <j_k\le n}\lambda_{j_1}\cdots\lambda_{j_k}. \]

命题3. 设$v$是$\mathbb{R}^n$上的紧支光滑向量场，$\nabla v$的$n$个特征值为$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}$. 则对任何$1\le k\le n$，我们均有$\int_{\mathbb{R}^n}e_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mathrm{d}x=0.$
证明. 由于$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$为$\nabla v$的特征多项式的$n$个根，由韦达定理，可知$e_k$恰为多项式$\det (\lambda I-\nabla v)$中$\lambda^{n-k}$的系数（可能差一个负号）. 但是$\det (\lambda I-\nabla v)$的系数可用$\nabla v$的主子式表达，即（记$N=\{1,2\ldots,n\}$）

\[e_k=\pm\sum_{\substack{A\subset N\\ |A|=k}}\sum_{\sigma\in\mathrm{Sym}(A)}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i\in A}\partial_iv_{\sigma(i)}. \]
可以验证：

\[\left(\bigwedge_{i\in A}dv_i\right)\wedge\left(\bigwedge_{j\in N\setminus A}dx_j\right)=\pm\left(\sum_{\sigma\in\mathrm{Sym}(A)}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i\in A}\partial_iv_{\sigma(i)}\right)dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n. \]
左边是恰当的，因为$df_1\wedge\cdots df_n=d(f_1df_2\wedge\cdots df_n)$，于是由Stokes公式，左边这个$n$-形式的积分是零（这里用到了紧支性），右边也是. 于是对任何$1\le k\le n$，我们均有

\[\boxed{\int_{\mathbb{R}^n}e_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mathrm{d}x=0.} \]
$\square$

回到Burgers方程. 现在我们来估计爆破时间. 事实上，我们有爆破时刻的精确刻画：

\[T_*=\inf_{x\in\mathbb{R}^n}\inf_{\substack{t>0\\\prod_i(1+\lambda_it)>0}}t=\inf_{\substack{\{x:(-\infty,0)\cap\operatorname{Spec}\nabla u_0(x)\ne\emptyset\}}}\frac{1}{-\min_{\lambda\in\operatorname{Spec}\nabla u_0(x)}\lambda}. \]

爆破的局部行为

容易知道，爆破发生在特征值最负的那个点出发的特征线上.假设$x_0$是特征值最负的那个点，那么通过一个伽利略变换（就是换一个惯性系，跟着一开始时特征值最负的那个质点跑），我们总能假设$x_0=0$并且$u_0(x_0)=0$. 此时显然爆破将在原点处发生.

0是$u_0$的一个平衡点，它周围的性状差不多由$u_0$在原点的导数们决定.我们往下总是记

\[A=\nabla u_0(0)=\begin{pmatrix} \partial_{x_1}u_{01}(x) &\partial_{x_1}u_{02}(x)\\ \partial_{x_2}u_{01}(x) &\partial_{x_2}u_{02}(x) \end{pmatrix}\]

假设$A$有两个特征方向$P_1,P_2$，它们都是单位向量，并且$P_i=(P_{i1},P_{i2})^t$，$AP_i=\lambda_iP_i$，注意$\lambda_1<\lambda_2$，$\lambda_1<0$.令矩阵$P=(P_1\ P_2)$，那么我们有$AP=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$，或者$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$.定义涡度$\omega(t,0)=\omega_0(0)=\partial_{x_1}u_{02}-\partial_{x_2}u_{01}$，注意这也是爆破点的涡度.那么我们有$P_1^t(A-A^t)P_2=(\lambda_2-\lambda_1)P_1^tP_2$，同时注意到$A-A^t=\begin{pmatrix}0&-\omega\\\omega&0\end{pmatrix}$，$P_1^t(A-A^t)P_2=-\omega\det P$，故$\omega=(\lambda_1-\lambda_2)\frac{P_1^tP_2}{\det P}$.所以想要涡度不为零，一不能考虑两个特征方向垂直，二不能考虑两个特征值相等.

我们先来算一个特殊的爆破例子.

2D Burgers方程的线性解
例子1 假设$u_0(x)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=Ax$，那么$\varphi_t(x)=x+tAx=(I+tA)x$，故$\varphi_t^{-1}(x)=(I+tA)^{-1}x$，并且我们有

\[\begin{align} u(t,x)&=u_0(\varphi_t^{-1}(x))=A(\varphi_t^{-1}(x))\\ &=A(I+tA)^{-1}x\\ &=P^{-1}\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)(1+t\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2))^{-1}Px\\ &=P^{-1}\operatorname{diag}(\frac{\lambda_1}{1+\lambda_1t},\frac{\lambda_2}{1+\lambda_2t})Px \end{align}\]
其实如果$x=y_1P_1+y_2P_2$，那么

\[\begin{align} u(t,x)&=A(I+tA)^{-1}(y_1P_1+y_2P2)\\ &=(I+tA)^{-1}(y_1\lambda_1P_1+y_2\lambda_2P_2)\\ &=\frac{\lambda_1y_1}{1+\lambda_1t}P_1+\frac{\lambda_2y_2}{1+\lambda_2t}P_2 \end{align}\]

这个例子启发我们，要把方程改写为$(y_1,y_2)$下的方程，并且要记$u=v_1(y_1,y_2,t)P_1+v_2(y_1,y_2,t)P_2$.可以算出$\partial_tv+(v\cdot\nabla_y)v=0$.但是不同的是我们有$v(y,0)=\lambda_1y_1P_1+\lambda_2y_2P_2+o(y)$，或者说$v_1(y,0)=\lambda_1y_1+o(y)$，$v_2(y,0)=\lambda_2y_2+o(y)$. 这个改写告诉我们，Burgers方程在仿射变换下不变，于是我们只需要考虑$P_1$,$P_2$垂直的情况，一般情况可以做一个线性变换即可.

posted @ 2025-04-15 02:28 xkas 阅读(268) 评论(0) 收藏举报

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