D81 分层图最短路 Dijkstra 算法 P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士

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P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士 - 洛谷

给一个有向图，从 1 号点开始，必须在 k 的倍数的时刻出发，到终点的时刻也必须是 k 的倍数

每条边有双边权：开放时间 $w$ 和 步行时间 $1$。到达 $u$ 点的时间 $s\ge w(u,v)$，才能通过 $(u,v)$ 边

问从 1 号点出发到 n 号时最早的时刻。（注意：不能在中间停留，可以在起点等待）

思路

如果 0 时刻出发，当前到达了 u 点，且当前时间为 s，如果 $s<w$，当前不能通过 (u,v) 边

我们可以晚 k 的倍数的时间出发，走到 u 点的时间 $\ge w$，可以通过 (u,v) 边

根据贪心思想，我们从 $x*k+s \ge w$ 中取最小的 $x$ 就行，$x=\lceil \frac{w-s}{k} \rceil$

这样到 u 点的合法的最少时间 $t=\lceil \frac{w-s}{k} \rceil*k+s$

到每个点的合法时间与 k 的倍数有关，$k\le 100$，把每个点拆成 k 个点，按 k 分层跑最短路

定义状态：$d[u,j]$ 表示到达 $u$ 点的时间 $mod\; k$ 的值为 $j$ 时的最短花费时间

答案显然是 $d[n,0]$。讨论一下边的转移，

如果 $s\ge w$，走边 $[u,s]\overset{1}{→}[v,s+1]$，转移 $d[v,(s+1)\% k]=s+1$

如果 $s<w$，先求 $t=\lceil \frac{w-s}{k} \rceil*k+s$，走边 $[u,t]\overset{1}{→}[v,t+1]$，转移 $d[v,(t+1)\% k]=t+1$

模拟走一下样例：

  

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D75【模板】分层图最短路 Dijkstra 算法 P4568 [JLOI2011] 飞行路线 - 董晓 - 博客园

 

// 分层图最短路 Dijkstra 算法 O(nk*log(nk))
#include<bits/stdc++.h>
#define pli pair<long long,int>
using namespace std;

const int N=10005,M=105;
vector<pli> e[N];
int n,m,k;
long long d[N][M]; //d[u,j]表示到达u点的时间mod k的值为j的最短花费时间
bool vis[N][M];

void dijkstra(){
  memset(d,0x3f,sizeof(d)); d[1][0]=0;
  priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli> > q;
  q.push({0,1});
  while(!q.empty()){
    auto [p,u]=q.top(); q.pop();
    if(vis[u][p%k]) continue; vis[u][p%k]=1;
    for(auto [v,w]:e[u]){
      int t=(p>=w)?p:(w-p+k-1)/k*k+p; //到u点的合法的最优时间
      if(d[v][(t+1)%k]>t+1){
        d[v][(t+1)%k]=t+1;
        q.push({t+1,v});
      }
    }
  }
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
  for(int i=0,u,v,w;i<m;i++){
    scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
    e[u].push_back({v,w});
  }
  dijkstra();
  printf("%lld\n",vis[n][0]?d[n][0]:-1);
}