D96 最短路径图+拓扑排序 Dijkstra 算法 P2505 [HAOI2012] 道路

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P2505 [HAOI2012] 道路 - 洛谷

给一个 n 个点 m 条单向边的有向图（可能有环、有重边），对于每条边，求出有多少条最短路经过它

思路

把边的最短路计数转移到点上更方便，以每个点为起点跑一遍 Dijkstra，建立的最短路图都是 DAG

图中有 4 个点，建立 4 个 DAG，一条边在各个图中的贡献需要累计

最短路经过边 (u,v) 的次数 $=$ 从起点到 u 的最短路条数 $\times$ 从 v 到各点 (包括 v 点) 的最短路条数

跑 Dijksra 时，从起点到 u 的最短路条数，用 f 数组记录，同时用栈记录 DAG 的拓扑序

然后，逆拓扑序 DP 出 从 v 到各点 (包括 v 点) 的最短路条数，用 g 数组记录

图中 1 到 u 的最短路为 6 条，v 到 v 的最短路为 1 条，到 5 的为 2 条，到 6 的为 5 条，所以 v 到各点的最短路为 8 条

根据乘法原理，最短路经过边 (u,v) 的次数为 48

最后，把各边在每个 DAG 中的贡献用数组 ecnt 累计起来，输出

相关板子：

D92【模板】最短路径树 Dijkstra 算法 CF545E Paths and Trees - 董晓 - 博客园

 

// 最短路径图+拓扑排序 Dijkstra 算法 O(MlogN)
#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;

const int N=1505,M=5005;
const long long mod=1e9+7;
int idx,h[N],ne[M],to[M],ww[M];
void add(int u,int v,int w){
  to[++idx]=v,ww[idx]=w,ne[idx]=h[u],h[u]=idx;
}
int n,m;
int d[N]; bool vis[N];
long long f[N],g[N],ecnt[M];
stack<int> st;

void dijkstra(int s){
  memset(vis,0,sizeof(vis));
  memset(d,0x3f,sizeof(d)); d[s]=0;
  memset(f,0,sizeof(f)); f[s]=1;
  priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
  q.emplace(0,s);
  while(!q.empty()){
    auto u=q.top().second; q.pop();
    if(vis[u])continue; vis[u]=1;
    st.emplace(u); //用栈记录拓扑序
    for(int i=h[u]; i; i=ne[i]){
      int v=to[i],w=ww[i];
      if(d[v]>d[u]+w){
        d[v]=d[u]+w;
        f[v]=f[u]; //记录从起点到v点的最短路条数
        q.emplace(d[v],v);
      }
      else if(d[v]==d[u]+w)f[v]=(f[u]+f[v])%mod; //更新
    }
  }
}
void topo(){
  while(!st.empty()){
    int u=st.top(); st.pop();
    g[u]=1;
    for(int i=h[u]; i; i=ne[i]){ //逆拓扑序DP
      int v=to[i],w=ww[i];
      if(d[v]==d[u]+w){
        ecnt[i]=(ecnt[i]+f[u]*g[v]%mod)%mod; //从起点到u点的最短路条数*从v点到各点(包括v点)的最短路条数
        g[u]=(g[u]+g[v])%mod; //递推从u点到各点的最短路条数
      }
    }
  }
}
int main(){
  cin>>n>>m;
  for(int i=1,u,v,w; i<=m; i++)cin>>u>>v>>w,add(u,v,w); 
  
  for(int i=1; i<=n; i++) dijkstra(i),topo();
  for(int i=1; i<=m; i++) cout<<ecnt[i]<<'\n';
}