天花乱坠 （数学）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/992/F
来源：牛客网

题目描述

某年某月某日，琪仔get到了一款十分精美的天花板图案的设计图纸。

图案的框架最初是一个正n边形，之后以它的n条边的中点为顶点构成一个新的正n变形。如此重复多次后，就能得到天花板图案的框架了。

不要问重复多少次，问就是无限重复。。。

给定n，求生成的图案的框架所有边的长度总和(最初正n边形每条边的边长均为100)。

输入描述:

多组测试(不多于100组)，每组一行一个整数n( 2 < n <= 100),表示正多边形的边数。

输出描述:

对于每组测试，输出一行一个结果，四舍五入保留两位小数。(请用较为简洁的计算方式，以减少误差)

示例1

输入

复制

3
4
50

输出

复制

600.00
1365.69
2533863.09

析：这就是一个很简单的数学推导，很容易知道正 n 边形的每个内角的度数 PI * (n - 2) / n，有了这个，就可以通过余弦定理来求出重复在它内部的第一个正 n 边形的边长 

其中 α 就是该正 n 边形的内角，x 是边长，然后可以看出，每个边长组成一个等比数列，公比就是上面那个式子除了 x，然后就可以使用等比数列求和得到最后和式，（中间使用了一次极限）

最后只要把边长和边数乘进去就行了，最后结果就是 

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);
int n;

int main(){
    while(scanf("%d", &n) == 1){
        double a = cos(PI * (n - 2) / n);
        double ans = 100.0 * n * (2 + sqrt(2-2*a)) / (1 + a);
        printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}