第一章 集合与函数 (一)

Posted on 2012-02-18 22:31  线代  阅读(366)  评论(0)    收藏  举报

  1. 集合与实数集

    1. 集合及其运算

定义1.1.1(集合的并与交)

设A,B 为两个给定的集合，称集合｛x │x A 或x B ｝为A 与B 的并集(简称并),记作A ∪B ，即A ∪ B ＝ ｛x │x A 或x B ｝;

        称集合｛x │x A 且x B ｝为A 与B 的交集(简称交),记作A ∩B ，即A ∩ B ＝ ｛x │x A 且x B ｝.

    定义1.1.2(差集和余集)

设A ，B 为两个给定的集合，称集合｛x │x A 但x B ｝为A 与B 的差集（简称差），记作A －B ，即A － B ＝ ｛x │x A 但x B ｝．

在讨论某个具体问题时,如果所考虑的一切集都是某集合X 的子集，则称X 为基本集.设X 是一个非空的基本集,A 炒X ，则定义X －A 为集合A 关于基本集X 的余集(简称余),记作Ac．

    定理1.1.1　设A ，B ，C 为给定的集合，则有

(1) (交换律)　A ∪B ＝B ∪A ，A ∩B ＝B ∩A

(2) (结合律)　A ∪（B ∪C ）＝（A ∪B ）∪C

A ∩（B ∩C ）＝（A ∩B ）∩C

(3) (分配律)　A ∪（B ∩C ）＝（A ∪B ）∩（A ∪C ）

A ∩（B ∪C ）＝（A ∩B ）∪（A ∩C ）

(4) (幂等律)　A ∪A ＝A ，A ∩A ＝A

(5) (吸收律)　A ∪ø＝A ，A ∩ø＝ø

    定义1.1.3 (乘积集合)

设A,B为给定的集合,称一切有序对构成的集合为A与B的笛卡尔积(Cartesian Product),记作A × B 即

                        A × B=.

  1. 实数的性质

    一个重要的性质是实数集具有稠密性即任意两个不相等的实数之间必有另一个实数而且既有有理数又有无理数.

一些常用不等式:

  1. 绝对值不等式

    实数a的绝对值定义为:

        

    容易推的以下的不等式:

                

    利用数学归纳法可以对n个实数a1,a2,…,an,证明不等式

                1+a2+…+an| |a1|+|a2|+…+|an|

  2. 伯努利(Bernoulli)不等式

    设x>-1,n为自然数,则有:

        (1+x)n1+nx

    证明采用数学归纳法即可证明,这里就省略.

  3. 平均值不等式

     

    证明采用数学归纳法即可证明,这里就省略.

  1. 区间与领域

设,称集合为点a的领域

  1. 确界与确界原理

定义1.1.5 (上界与下界)

设E为一非空集,如果存在数M,使得,则称m为E的一个上界.若E既有上界又有下界,则称E是一个有界数集.若E不是有界数集,则称它为无界数集.

 

    定义1.1.6 (确界)

设E为一非空集,

若数β是E的一个上界,且对E的任意上界β'都有β≤β'则称β为E的上确界(即最小的上界),记作β=supE.

若数α是E的一个下界,且对E的任意下界α'都有α≥α'则称α为E的下确界(即最大的下界),记作α=infE

 

定理1.1.2(确界原理)

        非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.

    定理1.1.3

        设A是有上界的非空数集, β=supA,则

    定理1.1.4

        若数集A包含了他的一个上界β,则β=supA.