【数学建模】day14-建立GM(1,1)预测评估模型应用

学习建立GM(1,1)灰色预测评估模型,解决实际问题:


SARS疫情对某些经济指标的影响问题


一、问题的提出

  2003 年的 SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响,特别是对部分 疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的,经济影响主要分为直接经济影响 和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以 进行定量的评估,现仅就 SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影 响进行定量的评估分析。 

  究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大,已知某市从 1997 年 1 月到 2003 年 12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如下面三表所示。

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  试根据这些历史数据建立预测评估模型,评估 2003 年 SARS 疫情给该市的商品零 售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。


二、模型的分析与假设

模型分析:

  根据所掌握的历史统计数据可以看出,在正常情况下,全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律。这样,对于每一个经济指标,考虑从两部分着手建立预测评估模型:

  1. 利用灰色理论建立GM(1,1)模型,根据1997-2002年的平均值序列,预测2003年的平均值。
  2. 通过历史数据计算每一个月的指标值与全年总值之间的关系,并将此关系拓展到2003年,进而预测出2003年每一个月的指标值。进而与真实数据值作比较,从而得出结论。

模型假设:

  1. 假设所有的统计数据真实可靠。
  2. 假设该市SARS疫情流行期间和结束之后,数据的变化只与SARS疫情的影响有关,不考虑其他随机因素的影响。

三、建立灰色预测模型GM(1,1)

  由已知数据,对于1997-2002年的某项指标记为A= (aij)6*12,计算每年的平均值作为初始数列。记为:

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  并要求级比image。对x(0)做一次累加得1-AGO序列:

      image

  式中:

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  取x(1)的加权均值序列:

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  式中,α是确定参数。

  从而,GM(1,1)的白化微分方程模型为:

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  其中a是发展灰度,b 是内生控制灰度。

  相应的灰微分方程为:

      image

  或记为:

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  这样,我们就得到了微分方程的解。

  根据解式,我们可以求出2003年的平均值x拔,从而得到2003年的全年总值Z。

  另一方面,根据历史数据,得到第i个月指标值占全年总值的比重为:

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  此比重拓展到2003年,可以得到2003 年每一个月的指标值V =zu 。


四、模型的求解

  对三项指标建立的微分方程模型分别求解如下:

  (1)商品零售额

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  第一指标的数据保存han1.txt,数据如下:

83.0   79.8   78.1   85.1   86.6   88.2   90.3   86.7    93.3    92.5    90.9    96.9 
101.7  85.1   87.8   91.6   93.4   94.5   97.4   99.5   104.2   102.3   101.0    123.5
92.2  114.0   93.3  101.0  103.5  105.2  109.5  109.2   109.6   111.2   121.7    131.3
105.0 125.7  106.6   116.0  117.6  118.0  121.7  118.7   120.2   127.8   121.8   121.9 
139.3 129.5  122.5   124.5  135.7  130.8  138.7  133.7   136.8   138.9   129.6   133.7 
137.5 135.3  133.0   133.4  142.8  141.6  142.9  147.3   159.6   162.1   153.5   155.9 
163.2 159.7  158.4   145.2  124.0  144.1  157.0  162.6   171.8   180.7   173.5   176.5 


 计算的matlab程序如下:

 1 clc,clear
 2  load han1.txt
 3  han1(end,:) = []; %删除最后一行,即2003年的值
 4 m  = size(han1,2); %矩阵列数
 5 x0 = mean(han1,2); %矩阵每一行均值
 6 x1 = cumsum(x0); %1-AGO序列
 7 alpha = 0.4;
 8  n = length(x0);
 9  z1 = alpha*x1(2:n) +(1-alpha) * x1(1:n-1); %邻值生成值
10 Y = x0(2:n);
11  B = [-z1,ones(n-1,1)];
12  ab = B\Y %最小二乘拟合参数
13 %下面求年平均值的预测值,取n=6预测下一年度
14 x_hat = (x0(1) - ab(2)/ab(1)) *(exp(-ab(1)*n)-exp(-ab(1)*(n-1)))
15  z = m*x_hat %全年预测值
16 u =sum(han1)/sum(sum(han1)) %根据历史数据计算每个月的比例值
17 v = z*u %计算每个月的预测值



结果:

ab =

   -0.0993
    85.5985


x_hat =

  162.8793


z =

   1.9546e+03


u =

  1 至 6 列

    0.0794    0.0807    0.0749    0.0786    0.0819    0.0818

  7 至 12 列

    0.0845    0.0838    0.0872    0.0886    0.0866    0.0920


v =

  1 至 6 列

  155.2152  157.7365  146.4023  153.5421  160.1400  159.8337

  7 至 12 列

  165.0649  163.7924  170.5317  173.1473  169.3064  179.8394


  (2)接待海外旅游人数

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  (3)综合服务业累计数据

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五、模型的结果与分析

  根据该市的统计报告显示,2003 年 4、 5、 6 三个月的实际商品零售额分别为 145.2、 124、144.1 亿元。在这之前,根据统计部门的估计 4、5、6 三个月份 SARS 疫情对该市 的商品零售业的影响为严重,这三个月估计大约损失 62 亿元左右。从我们的模型预 测结果来计算,4、5、6 三个月的损失为 60.1 亿元,这个数基本与专家的估计值相符, 8 月基本恢复正常,这也说明了模型的正确性和可靠性。

  对于旅游业来说是受影响严重的行业之一,严重的 4、5、6、7 四个月就损失 100 多万人,按新统计数据,平均每人消费 1002 美元计算,大约损失 10 亿美元。全 年大约损失 162 万人,约合 16.2 亿美元,到年底基本恢复正常。

  对于综合服务业中的部分行业影响较大,如航空交通运输、宾馆餐饮等,但有些 行业影响不大,如电信、通讯等,总平均来看,影响还不算太大,5、6、7、8 四个月 大约损失 70 亿元。

  该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的,但类似地也适用于 其它方面的一些数据规律的评估预测问题,即该模型具有很广泛的应用性。
 

  不足之处:此处并没有做GM(1,1)的模型检验。

posted @ 2018-08-02 11:23  pigcv  阅读(1895)  评论(0编辑  收藏  举报