完全背包问题

完全背包问题

题目

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 \(i\) 种物品的体积是 \(v_i\)，价值是\(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

详细内容见：3. 完全背包问题 - AcWing题库

题解

DP

以\(f[i][j]\)，其表示第\(i\)种物品，以及\(j\)背包余量下的最优解。完全背包与\(01\)背包唯一不同的地方在于除了考虑这种物品要与不要，还要再考虑要多少个。

在01背包问题中，方程为：

\[f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) \]

而在完全背包中则为：

\[f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]) \]

因此时物品有无限多个，不妨加入for(int k = 0 ;k * v[i] <= j ;K ++)以判断需要多少个第\(i\)种物品，其中当然也包含了不选该物品。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n ,m ,v[1005] ,w[1005] ,dp[1005][1005];

int main()
{
    cin >> n >> m ;
    
    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++) 
        cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
        for(int j = 0 ;j <= m ;j ++)
            for(int k = 0 ;k * v[i] <= j ;k ++)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i] ,dp[i][j]);
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

该代码时间复杂度为\(O(n^3)\)当然也是不俘众望的\(TLE\)了。

其中装入多少个物品处可改进为能装则装，装不下则不管。顺带着也可以把输入合并。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n ,m ,v ,w ,dp[1005][1005];

int main()
{
    cin >> n >> m ;
    
    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
    {
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0 ;j <= m ;j ++)
        {
            if(j < v) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] , dp[i][j - v] + w);
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

其中与\(01\)背包问题唯一的区别就在于max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v]+w)，毕竟\(01\)背包中该物品拿了就没了，这是显然的。

当然也可同\(01\)背包中将算法改进为一维数组的形式：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n , m, v ,w ,f[1005];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
    {
        cin >> v >> w;
        for(int j = v ;j <= m ;j ++)
            f[j] = max(f[j] , f[j - v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

此处完全背包和\(01\)背包的一维优化都是f[j] = max(f[j] , f[j - v[i]] + w[i])，但前者为正序枚举，后者为逆序枚举。

背包问题中的优化是对于二维数组中代码的等价变形，此处优化后：

• j - v[i]比j小，从小到大循环便可先计算f[j - v[i]]。所以f[j] = max(f[j] , f[j - v[i]] + w[i])等价于f[i, j] = max(f[i, j] , f[i, j - v[i]] + w[i])。
• 而从大到小循环会先计算f[i]，等价于f[i, j] = max(f[i, j] , f[i - 1, j - v[i]] + w[i])。