分组背包问题

分组背包问题

问题

有\(N\)组物品和一个容量是\(V\)的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是\(v_{ij}\)，价值是 \(w_{ij}\)，其中\(i\)是组号，\(j\)是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

详见9. 分组背包问题 - AcWing题库

题解

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n, m, s[105], v[105][105], w[105][105], f[105];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1 ;j <= s[i] ;j ++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
        for(int j = m ;j >= 0 ;j --)
            for(int k = 1 ;k <= s[i] ;k ++)
                if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j] , f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
    
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

其中for循环部分不能改为以下部分😢:

    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
        for(int k = 1 ;k <= s[i] ;k ++)
            for(int j = m ;j >= v[i][k] ;j --)
                f[j] = max(f[j] , f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

其中for(int j = m ;j >= v[i][k] ;j --)处，如果 v[i][k] 大于 j 时，这部分代码将无法更新，从而导致某些容量未被考虑。

其二维等效为：

    for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
        for(int j = 0 ;j <= m ;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];  
            for(int k = 0 ;k < s[i] ;k ++)
                if(j>=v[i][k])
                    f[i][j]=max(f[i][j] , f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);  
        }	

当然分组背包问题中也可将插入规划合并：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n, m, s, v[105], w[105], f[105];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    while(n --)
    {
        int s;
        cin >> s;
        for(int i = 0; i < s; i ++) 
            cin >> v[i] >> w[i];
            
        for(int j = m; j >= 0; j --)
            for(int  k = 0; k < s; k ++)
                if(j >= v[k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[k]] + w[k]);
    }

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}