图的连通性——Tarjan算法&割边&割点

tarjan算法

原理：

我们考虑 DFS 搜索树与强连通分量之间的关系。

如果结点 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第⼀个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定 是在搜索树中以 为根的⼦树中。 被称为这个强连通分量的根。

反证法：假设有个结点 在该强连通分量中但是不在以 为根的⼦树中，那么 到 的路径中肯 定有⼀条离开⼦树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然⽽这两条边都要求指向的结点已 经被访问过了，这就和 是第⼀个访问的结点⽭盾了。得证。

思路：

在 Tarjan 算法中为每个结点 维护了以下⼏个变量：

1:dfn[u]深度优先搜索遍历时结点 的DFS序。

2:low[u]设以u为根的⼦树为Subtree[u]。low[u]定义为以下结点的dfn的最⼩值：

Subtree(u)中的结点；从 Subtree(u)通过⼀条不在搜索树上的边能到达的结点。

遍历时维护栈，⽤于求解强连通分量。 ⼀个结点的⼦树内结点的 dfn 都⼤于该结点的 dfn。 从根开始的⼀条路径上的 dfn 严格递增，low 严格⾮降。 按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进⾏搜索。

在搜索过程中，对于结点u和与其v相邻的结点 考虑 3 种情况：

1. v未被访问：继续对v进⾏深度搜索。在回溯过程中，low[v]⽤low[u]更新 。因为存在从u到v的直接路径，所以v 能够回溯到的已经在栈中的结点,u也⼀定能够回溯到。

2. v被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据low值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中 的结点），则⽤dfn[u]更新low[v] 。

3. v被访问过，已不在在栈中：说明v已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不⽤对其做操作。