Beyas定理

\(Beyas\)定理
首先由条件概率的计算式有

\[Pr\{A|B\}=\frac{Pr\{A\cap B\}}{Pr\{B\}} \]

结合交换律得到

\[Pr\{A\cap B\}=Pr\{B\}Pr\{A|B\}=Pr\{A\}Pr\{B|A\} \]

移项得到

\[Pr\{A|B\}=\frac{Pr\{A\}Pr\{B|A\}}{Pr\{B\}} \]

注意到\(B=(B\cap A)\cup(B\cap \overline{A})\)
又因为\(B\cap A\)与\(B\cap \overline{A}\)是互斥事件，所以有

\[Pr\{B\}=Pr\{B\cap A\}+Pr\{B\cap \overline{A}\}=Pr\{B|A\}Pr\{A\}+Pr\{B|\overline{A}\}Pr\{\overline{A}\} \]

代入原式有

\[Pr\{A|B\}=\frac{Pr\{A\}Pr\{A|B\}}{Pr\{B|A\}Pr\{A\}+Pr\{B|\overline{A}\}Pr\{\overline{A}\}} \]