IOI2021 国家集训队作业 D Rubik's Rectangle

Description

给定一个 \(n \times m\) 的矩阵，填入了 \(1 \sim n \times m\) 中的数各一次，你可以翻转某一行或某一列，使得第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数为 \((i-1)m+j\)，操作次数 \(\le 10nm\)。

Solution

注意到在操作前后，\(\forall (i,j)\)，\((i,j),(i,m-j+1),(n-i+1,j),(n-i+1,m-j+1)\) 上的数组成的排列的可重集不变。我们先判掉初始和目标状态可重集不同的情况。

若 \(n\) 是奇数则要特判第 \(\frac {n+1} {2}\) 行，若 \(m\) 是奇数则要特判第 \(\frac {m+1} {2}\) 列，二者都是平凡的。这样一来，每个排列长度均为 \(4\)。

我们尝试对每个排列分开考虑。假设 \((i,j),(i,m-j+1),(n-i+1,j),(n-i+1,m-j+1)\) 上的数分别为 \(a,b,c,d\)，则只有以下四种操作有影响：

• 操作一：翻转第 \(i\) 行。

• 操作二：翻转第 \(n-i+1\) 行。

• 操作三：翻转第 \(j\) 列。

• 操作四：翻转第 \(m-j+1\) 列。

我们的目标是，在保证每种操作都进行偶数次的前提下，将 \(a,b,c,d\) 归位。

打表发现，上述目标可被达成，当且仅当目标状态与 \(\{a,b,c,d\}\) 两排列的奇偶性相同。满足该要求时，构造是容易的，这里不再赘述。

下面，我们只需考虑 \(\{a,b,c,d\}\) 奇偶性不合法的情况。注意到，假设我们对第 \(x\) 行操作，那么所有 \((x,y)\) 对应的排列的逆序对数 \(\bmod 2\) 均会被反转；列，同理。令 \(t_{i,j}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列对应排列的奇偶性，则问题转化为：将若干行，若干列反转，使得 \(t\) 全 \(0\)。

这是经典问题，随便线性扫一遍就好了。时间复杂度 \(O(n^2)\)。

bonus: 尝试解决计数问题。实际并不复杂，还挺有意思的。