CodeForces-338D GCD Table

题目描述

一张\(n\times m\) 的表，第$i \(行第\)j 列$是。

\(GCD(i,j)\)你有一个长度为\(k\) 的数列\(A\)，询问是否存在\(i,j\)。

满足对任意的\(l\)，均有\(GCD(i,j+l-1)=a_l(1\leq l\leq k)\)。

Input

第一行有\(3\)个整数\(n,m,k\)。

第二行有\(k\)个整数表示数组\(A\)。

$ 1<=n,m<=10^{12}1<=k<=10000 $

$ 1<=a_{i}<=10^{12}$

Output

若存在输出\(YES\)，否则输出\(NO\)。

Sample Input

100 100 5
5 2 1 2 1

100 8 5
5 2 1 2 1

100 100 7
1 2 3 4 5 6 7

Sample Output

YES

NO

NO

题目中要求我们在表中找到数列\(A\)。

即：

\[\begin{cases} GCD(i,j)=A_1 \\ GCD(i,j+1)=A_2 \\ ...... \\ GCD(i,j+k-1)=A_k\\ \end{cases} \]

由于\(GCD\)内外可以同时除掉一个数，所以我们同时除掉\(A_i\)。

有：

\[\begin{cases} GCD(i/A_1,j/A_1)=1 \\ GCD(i/A_2,(j+1)/A_2)=1 \\ ...... \\ GCD(i/A_k,(j+k-1)/A_k)=1\\ \end{cases} \]

题目开始变得明朗了起来。

首先，我们发现\(i\)必定能整除所有的\(A_i\)，即\(i\)一定是\(LCM(A)\)的倍数。

同时，我们又发现\(j/A_1\)为整数，\((j+1)/A_2\)为整数，即：

\[\begin{cases} j=0\%A_1 \\ j+1=0\%A_2 \\ ...... \\ j+k-1=0\%A_k\\ \end{cases} \]

我们可以利用中国剩余定理解出\(j\)的解集。

我们发现\(j\)的解集一定是\(Ans+k*LCM(A)\)。

让我们再回到之前的解题中去。

\(i=t*LCM(A),j=Ans+k*LCM(A)\)。

让我们证明\(i\)取\(LCM(A)\)时最优：

---

\(j\)的解集和\(i\)并没有关系.

在上面的条件中，我们要求\(GCD(t*(LCM(A)/A_i),(j+i-1)/A_i)=1\).

我们发现若\(t\)不等于\(1\)时，在\(GCD\)中必定会多带入一个因子，这样的话会使\(GCD\)为\(1\)变的比较麻烦。

所以，我们取\(i=LCM(A)\)一定是最优的。

---

即然\(i\)已经取了\(LCM(A)\),那\(j\)自然是取\(Ans\)了，否则的话由会多了\(LCM(A)\)的项。

最后带入检验即可。

一个坑点：两个数相乘会炸long long，要用快速乘。

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define int long long
#define reg register
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define Mod(x) (x>=mod)&&(x-=mod)
#define abs(a) ((a)<0?-(a):(a))
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl;
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<endl;
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<" "<<#z<<"="<<z<<endl;
#define rep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<=a##_end_; ++a)
#define ret(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<a##_end_; ++a)
#define drep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a>=a##_end_; --a)
#define erep(i,G,x) for(int i=(G).Head[x]; i; i=(G).Nxt[i])
#pragma GCC optimize(2)
 
inline int Read(void) {
	int res=0,f=1;
	char c;
	while(c=getchar(),c<48||c>57)if(c=='-')f=0;
	do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
	while(c=getchar(),c>=48&&c<=57);
	return f?res:-res;
}
 
template<class T>inline bool Min(T &a, T const&b) {
	return a>b?a=b,1:0;
}
template<class T>inline bool Max(T &a, T const&b) {
	return a<b?a=b,1:0;
}
const int N=1e4+5,M=305,mod1=97,mod2=3761599;
 
bool MOP1;
 
int n,k,m,mod[N],res[N];
 
bool MOP2;
 
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) {
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int g=Exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return g;
}
 
inline int Mul(int x,int y,int mod) {
	int res=0,f=0;
	if(y<0)f=1,y=-y;
	while(y) {
		if(y&1)res=(res+x)%mod;
		x=x+x%mod,y>>=1;
	}
	return f?-res:res;
}
 
inline int Excrt(void) {
	int M=mod[1],ans=res[1],x,y;
	rep(i,2,k) {
		int g=Exgcd(M,mod[i],x,y);
		if((res[i]-ans)%g)return -1;
		y=mod[i]/g;
		x=Mul(x,(res[i]-ans)/g,y);
		x=(x+y)%y;
		ans=M*x+ans,M=M/g*mod[i],ans%=M;
	}
	int z=(ans%M+M)%M;
	if(!z)z=M;
	return z;
}
 
int vis[1000005];
 
inline void _main(void) {
	n=Read(),m=Read(),k=Read();
	rep(i,1,k)mod[i]=Read(),res[i]=((1-i)%mod[i]+mod[i])%mod[i];
	int LCM=1;
	rep(i,1,k) {
		LCM=LCM/__gcd(LCM,mod[i])*mod[i];
		if(LCM<0||LCM>n)return(void)puts("NO");
	}
	int Now=Excrt();
	if(Now==-1)return(void)puts("NO");
	if(Now+k-1>m)return(void)puts("NO");
	rep(i,1,k)if(__gcd(Now+i-1,LCM)!=mod[i])return(void)puts("NO");
	return(void)puts("YES");
}
 
signed main() {
	_main();
	return 0;
}