概率统计应用题（二）

题目来源：AI研习社

 

问题：24个人，美人至少养一种宠物，养鸟、狗、鱼、猫的分别为13、5、10、9人，同时养鸟和狗的2人，同时养鸟和鱼、鸟和猫、鱼和猫的各为4人，养狗的既不养猫也不养鱼。问只养一种宠物的总共几人？同时养鸟鱼猫的几人？

 

解：记养鸟为事件A，养狗为事件B，养鱼为事件C，养猫为事件D。

　　由题意有，$n\left ( A \right )= 13$，$n\left ( B \right )= 5$，$n\left ( C \right )= 10$，$n\left ( D \right )= 9$，$n\left ( AB \right )= 2$，$n\left ( AC \right )= n\left ( AD \right )= n\left ( CD \right )= 4$，$n\left ( BC \right )= n\left ( BD \right )= 0$

　　下求$n\left ( 只养一种动物 \right )$和 $n\left ( ACD \right )$：

　　$n\left ( A \right ) + n\left ( B \right ) + n\left ( C \right ) + n\left ( D \right ) - n\left ( AB \right ) - n\left ( AC \right ) - n\left ( AD\right ) - n\left ( CD \right ) + n\left ( ACD \right )= 24 $

　　$\Rightarrow  n\left ( ACD \right )= 1$

　　$\because  n\left ( 只养一种动物 \right )= n\left ( 只养一种动物 \right )= n\left ( A\bar{B}\bar{C}\bar{D} \right ) + n\left ( \bar{A}B\bar{C}\bar{D} \right ) + n\left ( \bar{A}\bar{B}C\bar{D} \right ) + n\left ( \bar{A}\bar{B}\bar{C}D \right )$

　　$n\left ( A\bar{B}\bar{C}\bar{D} \right )= n\left ( A \right ) -  n\left ( AB \right ) - n\left ( AC \right ) - n\left ( AD \right ) + n\left ( ACD \right )= 13 -2 - 4 - 4 + 1= 4$

　　$n\left ( \bar{A}B\bar{C}\bar{D} \right )= n\left ( B \right ) - n\left ( AB \right )= 5 - 2= 3$

　　$n\left ( \bar{A}\bar{B}C\bar{D} \right )= n\left ( C \right ) - n\left ( AC \right ) - n\left ( CD \right ) + n\left ( ACD \right )= 10 - 4 - 4 + 1= 3$

　　$n\left ( \bar{A}\bar{B}\bar{C}D \right )=n\left ( D \right ) - n\left ( AC \right ) - n\left ( CD \right ) + n\left ( ACD \right )= 9 - 4 - 4 + 1= 2$

　　$\therefore n\left ( 只养一种动物 \right )= 4 + 3 + 3 + 2= 12$

　　所以，只养一种宠物的总共12人，同时养鸟鱼猫的1人。