二分查找学习

数组在有序的情况查找某元素，用二分查找可以达到logn的时间复杂度。二分查找虽然看似容易，想要把这个算法完全写好，并灵活运用确并非易事儿。据说专业的程序员有90%的人无法正确实现。如果你不信，不妨自己动手试一试，然后用一些测试用例测一下。

二分查找的思想：在有序数组A[n]中查找x，令s=0,e=n-1，我们先相信x在[s,e]区间，m=(s+e)/2为中间坐标，如果正好x=A[m]则找到输出；如果x<A[m]，则x出现m的左边，反之出现在m的右边。这样每次都可以缩小查找范围，当s>e时未找到则没出现，返回-1。

根据思想不难写出以下代码：

int binarySearch(int A[],int n,int x)
{
    int s = 0;
    int e = n-1;
    while(s<=e)
    {
        int mid = (s+e)>>1;
        if(A[mid]<x)
            s = mid + 1;
        else if(A[mid]>x)
            e = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

注：上述代码如担心s+e溢出的话，可以采用 mid = s + (e-s)>>1;

上述实现较容易，且不容易出错。另外的几种变体使用起来就要小心了。

变体1：

int binarySearch1(int A[],int n,int x)
{
    int s = 0;
    int e = n;
    while(s<e)
    {
        int mid = (s+e)>>1;
        if(A[mid]<x)
            s = mid + 1;
        else if(A[mid]>x)
            e = mid;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

这种方法采用的是右边开区间的边界（不包含）。那么注意当A[mid]>x时，修改结束坐标e时，同样的要不包含右边界，即e=mid。

变体2：

如果数组中有多个满足条件的元素，在算法1中我们随机的找出了一个位置。在《编程珠玑》中给出了一种方法，可以找到第一个满足条件的位置

//找出第一个满足条件的元素x
int getFirst(int A[],int n,int x)
{
    int s = -1;
    int e = n;
    while(s+1!=e)  //s<e && A[s]<x<=A[e]
    {
        int mid = (s+e)>>1;
        if(A[mid]<x)
            s = mid;
        else
            e = mid;
    }
    if(e>=n || A[e]!=x)
        e = -1;
    return e;
}

这种方法可能不太好理解，至少我第一读到的时候就纳闷为什么要这么写呢（没办法，脑袋转的慢呀!-!）。后来想了想终于想通了：因为是要找第一个满足的，那我们在某次判断时，无论当前的是不是要找的都要缩小范围是吧，关键是在找到了“它“，把它分到哪部分好呢？肯定是右半部份啦，因为这样他就变成火车尾了。一段时间后回头再看，上句话说的不清楚，下面给出更简单的解释。当找到这个元素，即mid位置为x时，如何修改下标呢？因为不能排除mid前面还有没有x了，所以动e，令e=mid。

同理，我们可以得出找到最后一个位置的方法：

//找出最后一个满足条件的元素x位置
int getLast(int A[],int n,int x)
{
    int s = -1;
    int e = n;
    while(s+1!=e)  //s<e && A[s]<=x<A[e]
    {
        int mid = (s+e)>>1;
        if(A[mid]>x)
            e = mid;
        else
            s = mid;
    }
    if(s<=0 || A[s]!=x)
        s = -1;
    return s;
}

另外还有其他各种变种，如找到第一个大于给定元素的位置，找出第一个小于给定元素的位置，找出第一个大于等于给定元素的位置等等，看起来都差不多，写起来还真没那么容易，今天写到这里，后面几个随后再补充吧。也欢迎小伙伴们在评论中指正和补充～