01-命题与命题公式
命题与命题公式
1、命题与命题连接词
1.1、命题与命题的表示
推理
-
由一个或几个已知的前提，推导出一个未知结论的思维过程称为推理
-
推理的基本要素就是表达这些前提的
陈述句 -
真值
- 是陈述句的一个属性，描述这个陈述句成立或不成立
- 成立 - 真值为真，表示T
- 不成立-真值为假，表示F
命题
- 具有
唯一真值的陈述句称为命题或语句 - 真命题 - 真值为真
- 假命题 - 真值为假
- 疑问句、感叹句、祈使句 都不是命题； 悖论不是命题（‘我正在说谎’）
判断命题的两个条件
- 语句本身是陈述句
- 命题具有唯一的真值（要么真要么假）
命题符号化
- 用符号来表示命题的过程(常用字符+数字 \(P_1、q_2\) )
- 命题标识符： 表示命题的符号
- 当命题标识符表示某个
确定的命题时， 称为命题常量/命题常项
- 当命题标识符表示某个
- 命题变元、命题变项
- 如果命题标识符只表示命题的
位置
- 如果命题标识符只表示命题的
步骤
- 找出复合命题中的原子命题
- 通过英文字母表示这些原子命题
- 使用命题联结词将这些英文字母连接起来
2、复合命题与联结词
原子命题
- 是不能再分解的命题， 也成为
简单命题
复合命题
- 由原子命题通过联结词
联结而成的命题称为复合命题 - 复合命题所含有的多个原子命题之间
可以没有逻辑关联性
常用联结词
常用联结词有五种： 否定、合取、析取、条件、双条件
1、否定
- 定义： 设P为命题，P的否定是一个复合命题，记作\(\neg P\) ，读作 '非 P'。
- \(\neg\) 称为否定联结词
- 若 \(P\) 为 T(真)， 则\(\neg P\)为F(假)；
给出命题\(P\): "今天是星期五"的否定，并用自然语言表示
解：P：今天是星期五； \(\neg P\):今天不是星期五
2、合取
表示的两个命题的且关系
- 定义：设 P、Q 为两个命题，P和Q的合取是一个复合命题， 记作 \(P\and Q\)
- \(\and\) 称为合取联结词
- 当且仅当P和Q同时为T时， \(P\and Q\)为T， 否则为F；表示 P并且Q
- P与Q的顺序可以互换，表示合取的
对称性 - 可以将两个互为否定的命题联结在一起， \(P\and\neg P\)一定是F
自然语言中的’并且‘可以对应合取，
根本含义是表示两件事情同时成立
- 既...又； 不但...而且； 虽然...,但是...
- 2既是偶数，也是素数
- 设 P：2是偶数； Q：2是素数；可以表示为 \(P\and Q\)
- 我今天不但听了离散数学课，还听了数据结构课
- 设 P：我今天听了离散数学课； Q：我今天听了数据结构课；可以表示为 \(P\and Q\)
- 今天离散数学课堂上，美元下跌
- 设 P：今天离散数学课堂上； Q：美元下跌；可以表示为 \(P\and Q\)
- 注意 P和Q之间没有逻辑关联性
全真为真，其他全假
3、析取
表示的两个命题的或关系
- 定义：设P、Q为两个命题，P和Q的析取是一个复合命题， 记作 \(P \or Q\)
- \(\or\) 称为析取联结词
- 当且仅当 P、Q同时为F是， \(P\or Q\)的真值为F， 其余情况都是T
- P与Q的顺序可以互换，表示析取的
对称性
分析
小王今天或者去美国，或者去欧洲
设P：小王今天去美国， Q:小王今天去欧洲
问题 小王只有一个人， 去美国就不能去欧洲，去欧洲就不能去美国，所以不能简单地表示为 \(P\or Q\)
小王今天或者是坐火车去北京，或者是乘飞机去北京
设P：小王今天是坐火车去北京， Q:小王今天是乘飞机去北京
问题 假设小王只需要乘坐一种交通工具就可以到北京，与1类似，小王不能既坐火车又乘飞机，所以不能简单地表示为 \(P\or Q\)
特点 上面两个复合命题中的原子命题不会同时成立，它们具有
互斥性；这样的或表示的是异或异或可以记作：\((P\and\neg Q)\or(\neg P\and Q)\)
全假为假，其他全真
4、条件
-
定义： 设P、Q为两个命题， P和Q组成的
条件命题是一个复合命题， 记作 \(P\to Q\)， 读作‘如果P那么Q’、’若P则Q’ -
\(\to\) 称为条件联结词, P 称为
前件、前提； Q称为后件、结论； -
顺序不能交换
-
条件命题表示的是，当前件发生时后件是否发生。
-
P 是 Q 的
充分条件 -
Q 是 P 的
必要条件
⭐当前件没有发生时，后件是否发生都没有关系。
前件为T后件为F时为F， 其他全T
设 P表示：小王努力学习。 Q表示：小王学习成绩优秀
- 命题：”如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀“ 可以符号化为：\(P \rightarrow Q\)
- 命题：“只有小王努力学习， 那么他的学习成绩才能优秀” 可以符号化为：\(Q\rightarrow P 或 \neg P \rightarrow \neg Q\) ⭐
- 努力学习是成绩优秀的必要条件
- 如果没有努力学习， 成绩就不会优秀， 所以都取反
5、双条件
- 定义： 设P、Q为两个命题， P和Q组成的
双条件命题是一个复合命题， 记作 \(P\leftrightarrow Q\)， 读作‘P当且仅当Q’ - 双条件命题表示P、Q的真值是否相同。
当P与Q的真值相同时，\(P\leftrightarrow Q\)为真否则为假
合取、析取、双条件具有对称性
2、命题公式的等值演算
合式公式
将命题用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式
合式公式也称为命题公式或命题形式， 简称为公式
在合式公式中， 当其中含有命题变元时，合式公式没有确定的真值（含有变量）
联结词的优先级
否定>合取>析取>条件>双条件
命题演算的合式公式定义
- 单个命题变元或命题常项是合式公式，并称为原子命题公式
- 若A是合式公式、则(\(\neg A\)) 是合式公式
- 若A、B是合式公式， 则 (\(A \and B\))、(\(A \or B\))、(\(A\rightarrow B\))、(\(A \leftrightarrow B\)) 是合式公式
有限次地引用前三点形成的符号串是合式公式
合式公式的约定
- 合式公式最外层的括号可以省略
- 不影响运算次序的括号可以省略
- 联结词的
优先级：否定>合取>析取>条件>双条件
定义 设\(A_i\)是公式A的一部分， 且 \(A_i\)是一个合式公式， 称 \(A_i\)是A的子公式或公式分量
指出综合公式\((P \or Q)\leftrightarrow (R \rightarrow (\neg{P}\and Q))\)中的子公式
\(A_1\): P, \(A_2\): Q, \(A_3\): R, \(A_4\): \(\neg P\), \(A_5\):\(P\or Q\) , \(A_6\):\(\neg{P}\and Q\) , \(A_7\): \(R \rightarrow (\neg{P}\and Q)\),
成真/假指派
指派
也称为赋值， 对命题公式中的各项命题变元指定一个真值。
如果指定的一种指派使得命题公式的真值为真， 则称这组值为命题公式的成真指派
如果指定的一种指派使得命题公式的真值为假， 则称这组值为命题公式的成假指派
真值表
将命题公式在所有指派下的取值情况列成表， 称其为A的真值表
构造真值表的步骤
- 找出公式中所有的命题变元，设为\(P_1, P_2, ... P_n\), 列出\(2^n\)个赋值，赋值从FF..F或TT..T开始，
- 按从简到繁的顺序写出公式的各个子公式
- 对应各个赋值计算出个子公式的真值， 直到最后计算出公式的真值
例题：写出命题公式\((P \rightarrow Q ) \or R\) 的真值表， 并求其成真指派和成假指派
条件： 前件为真， 后件为假时公式为假， 其余为真
析取： 全假时公式为假， 其余为真(只要有一个命题是真就是真， 同时假为假)
P Q R \(P\rightarrow Q\) \((P \rightarrow Q ) \or R\) T T T T T T T F T T T F T F T T F F F F F T T T T F T F T T F F T T T F F F T T 根据真值表可知， 成假指派有（TFF）; 成真指派有 TTT, TTF, TFT, FTT, FTF, FFT, FFF
等价公式
给定两个命题A、B， 设P_1, P_2,...P_n 为所有出现于A和B中的原子变元， 若给 P_1, P_2, ... P_n 任一组真值指派， A和B的真值都相同， 称A和B是等值或等价的， 记为 \(A\Leftrightarrow b\)
如果至少存在一组真值指派使得A和B的真值不同， 称A和B不是等值的 记作\(A\nLeftrightarrow B\)
命题的类型
重言式或永真式
如果一个命题公式在各种真值指派情况下，它的真值都是真， 则该命题公式为重言式或永真式
矛盾式永假式
如果一个命题公式在各种真值指派情况下，它的真值都是假， 则该命题公式为矛盾式或永假式
可满足式
如果一个命题公式，在它的各种真值指派中至少存在一组成真指派，则称该命题公式为可满足式
\rightarrow Q \Leftrightarrow \neg P \or Q
常用的命题定律 ⭐
| 名称 | 等价 | |
|---|---|---|
| 双重否定律 | \(A\Leftrightarrow \neg\neg A\) | |
| 幂等律 | $A \Leftrightarrow A \or A,;; A \Leftrightarrow A \and A $ | |
| 结合律 | \((A \or B)\or C \Leftrightarrow A \or (B \or C)\) \((A \and B)\and C \Leftrightarrow A \and (B \and C)\) |
|
| 交换律 | \(A \or B \Leftrightarrow B \or A\) \(A \and B \Leftrightarrow B \and A\) |
|
| ⭐ | 分配律 | \(A \and (B \or C) \Leftrightarrow (A \and B) \or (A \and C)\) \(A \and (B \or C) \Leftrightarrow (A \and B)\or (A \and C)\) |
| 吸收律 | \(A \or (A \and B) \Leftrightarrow A\) \(A \and (A \or B) \Leftrightarrow A\) |
|
| ⭐ | 德摩根律 | \(\neg (A \or B) \Leftrightarrow \neg A \and \neg B\) \(\neg (A \and B) \Leftrightarrow \neg A \or \neg B\) |
| 同一律 | \(A \or F \Leftrightarrow A; \;\;\;\text{F:假}\) \(A \and T \Leftrightarrow A; \;\;\;\text{T:真}\) |
|
| 零律 | \(A \or T \Leftrightarrow T\) \(A \and F \Leftrightarrow F\) |
|
| 排中律 | \(A \or \neg A \Leftrightarrow T\) | |
| 否定律 | \(A \and \neg A \Leftrightarrow F\) | |
| 蕴含等值式 | \(A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg A \or B\) | |
| 等价等值式 | \(A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (A \rightarrow B) \and (B \rightarrow A)\) | |
| 假言易位 | \(A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \rightarrow \neg A\) | |
| 等价否定等值式 | \(A \leftrightarrow B \Leftrightarrow \neg A \leftrightarrow \neg B\) | |
| 归谬论 | \((A \rightarrow B) \and (A \rightarrow \neg B) \Leftrightarrow \neg A\) | |
| ⭐ | 条件等价式 | \(P\rightarrow Q \Leftrightarrow \neg P \or Q\) |
B等价置换
设\(\Phi(A)\) 是含有子公式A的命题公式， 若 \(A \Leftrightarrow B\), 如果将 \(\Phi(A)\)中的A用B来置换， 得到的公式记为 \(\Phi(B)\), 则 \(\Phi(A) \Leftrightarrow \Phi(B)\).
满足此定理的置换叫做等价置换
用等价演算法证明 \(P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \and Q) \or (\neg P \and \neg Q)\)
等值演算与蕴涵式
设\(\Phi(A)\) 是含有子公式A的命题公式， 使用子公式B置换\(\Phi(A)\)中所有A的出现， 得到命题公式\(\Phi(B)\) , 若\(B\Lrarr A\) 则\(\Phi(A) \Lrarr \Phi(B)\)
设A、B为两个命题公式， \(A \Lrarr B\) , 当且仅当 \(A \lrarr B\)为一个重言式。
当\(A \rarr B\) 是一个重言式时， 称\(P蕴涵Q\), 记作 \(P \Rarr Q\). 蕴涵式也称为永真条件式。
蕴涵式有如下性质
- 对任意公式A , \(A \Rarr A\)
- 对任意公式A，B，C， 若 \(A \Rarr B， B \Rarr C , 则 A \Rarr C\)
- 对任意公式A，B，C， 若 \(A \Rarr B， A \Rarr C , 则 A \Rarr (B \and C)\)
- 对任意公式A，B，C， 若 \(A \Rarr C， B \Rarr C , 则 A \or B\Rarr C\)
设A、B为两个命题公式， $A \Rarr B $的充分必要条件是 $ A \Rarr B \and B \Rarr C$
蕴涵式证明方法
- 真值表
- \(P \Rarr Q\) 只需要证明当P为真推导出的Q也为真， 则 P蕴涵Q 成立（\(P \rarr Q\) 前件为真，后件为假时才为假）
- \(P \rarr Q \Lrarr \neg Q \rarr \neg P\), 所以只需要证明后件为假时，前件也为假
| 名称 | 重言蕴涵式（推理定律） |
|---|---|
| 化简律 | \(P \and Q \Rarr P\) \(P \and Q \Rarr Q\) |
| 附加律 | \(P \Rarr (P \or Q)\) |
| 变形附加律 | \(\neg P \Rarr (P \rarr Q)\) \(Q \Rarr P \rarr Q\) |
| 变形简化律 | \(\neg(P \rarr Q) \Rarr P\) \(\neg (P \rarr Q) \Rarr \neg Q\) |
| 假言推理 | \(P \and (P \rarr Q) \Rarr Q\) |
| 据取式 | \((P \rarr Q) \and \neg Q \Rarr \neg P\) |
| 析取三段论 | \((P \or Q ) \and \neg Q \Rarr P\) |
| 条件三段论 | \((P\rarr Q) \and (Q \rarr R) \Rarr (P \rarr R)\) |
| 合取构造二难 | \((P \rarr Q) \and (R \rarr S) \and (P \and R) \Rarr Q \and S\) |
| 析取构造二难 | \((P \rarr Q) \and (R \rarr S) \and (P \or S) \Rarr Q \or S\) |
| 前后件附加 | \(P \rarr Q \Rarr (P \or R) \rarr (Q \or R)\) \(P \rarr Q \Rarr (P\and R) \rarr (Q \and R)\) |
联结词完备集
任何n元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示， S是一个联结词集合，称S为联结词完备集。
- {$ \neg， \and， \or， \rarr， \lrarr$ }是完备集
- 最小完备集 \(\{\neg , \or\}\)
- 最小完备集 \(\{\neg , \and\}\)
浙公网安备 33010602011771号