BZOJ3270: 博物馆【概率DP】【高斯消元】
Description
有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。
两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）
不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。
两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。
两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。
Input
第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。
之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。
之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。
题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。
Output
输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）
注意最后一个数字后面也有一个空格
Sample Input
2 1 1 2
1 2
0.5
0.5
Sample Output
0.500000 0.500000
HINT
对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2
思路
因为n很小考虑状态\(t_{i,j}\)表示出现第一个人在i，第二个人在j的期望次数
因为边可以双向转移，所以转移是存在环的
考虑怎么表示一个dp转移
\(t_{id_{x, y},id_{x, y}} += (p_x * p_y)[x\not= y]\)
\(t_{id_{x, y},id_{u, y}} += (1-p_u)/d_u * p_y[u\not=y]\)
\(t_{id_{x, y},id_{x, v}} += p_x * (1-p_v)/d_v[x\not=v]\)
\(t_{id_{x, y},id_{u, v}} += (1-p_u)/d_u * (1-p_v)/d_v[u\not=v]\)
转移有环可以直接用高斯消元解决掉
注意一下：
-
因为在每个点停止的状态只可能出现一次，所以出现的期望次数就是出现概率
-
在写转移方程的时候默认左边有\(t_{id_{x, y},id_{x, y}}\)，所以高消的时候需要把这个东西系数减一
-
因为一开始有初始位置a和b，所以初值\(t[id_{a,b}][n*n+1]=-1\)
//Author: dream_maker
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//----------------------------------------------
//typename
typedef long long ll;
//convenient for
#define fu(a, b, c) for (int a = b; a <= c; ++a)
#define fd(a, b, c) for (int a = b; a >= c; --a)
#define fv(a, b) for (int a = 0; a < (signed)b.size(); ++a)
//inf of different typename
const int INF_of_int = 1e9;
const ll INF_of_ll = 1e18;
//fast read and write
template <typename T>
void Read(T &x) {
bool w = 1;x = 0;
char c = getchar();
while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
if (c == '-') w = 0, c = getchar();
while (isdigit(c)) {
x = (x<<1) + (x<<3) + c -'0';
c = getchar();
}
if (!w) x = -x;
}
template <typename T>
void Write(T x) {
if (x < 0) {
putchar('-');
x = -x;
}
if (x > 9) Write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
//----------------------------------------------
const int N = 410;
#define id(x,y) (n * (x - 1) + y)
int n, m, a, b, d[N];
vector<int> g[N];
double p[N], t[N][N];
void guass(int n) {
fu(i, 1, n) {
int j = 0;
fu(k, i, n) if (fabs(t[k][i]) > fabs(t[j][i])) j = k;
fu(k, 1, n + 1) swap(t[j][k], t[i][k]);
double w = t[i][i];
fu(k, 1, n + 1) t[i][k] /= w;
fu(k, 1, n) {
if (k == i) continue;
w = t[k][i];
fu(p, 1, n + 1) t[k][p] -= w * t[i][p];
}
}
}
int main() {
Read(n), Read(m); Read(a); Read(b);
fu(i, 1, m) {
int u, v; Read(u), Read(v);
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
++d[u], ++d[v];
}
fu(i, 1, n) scanf("%lf", &p[i]);
fu(i, 1, n * n)
fu(j, 1, n * n) t[i][j] = 0;
fu(x, 1, n) {
fu(y, 1, n) {
if (x != y) {
t[id(x, y)][id(x, y)] = p[x] * p[y] - 1.0;
} else {
t[id(x, y)][id(x, y)] = -1;
}
fv(u, g[x]) if (g[x][u] != y) t[id(x, y)][id(g[x][u], y)] = (1.0 - p[g[x][u]]) / (double) d[g[x][u]] * p[y];
fv(v, g[y]) if (x != g[y][v]) t[id(x, y)][id(x, g[y][v])] = p[x] * (1.0 - p[g[y][v]]) / (double) d[g[y][v]];
fv(u, g[x])
fv(v, g[y]) if(g[x][u] != g[y][v]) t[id(x, y)][id(g[x][u], g[y][v])] = (1.0 - p[g[x][u]]) / (double) d[g[x][u]] * (1.0 - p[g[y][v]]) / (double) d[g[y][v]];
}
}
t[id(a, b)][n * n + 1] = -1;
guass(n * n);
fu(i, 1, n) printf("%.6lf ", t[id(i, i)][n * n + 1]);
return 0;
}
