并查集实现及其应用

并查集

1. 并查集是什么

并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。并查集可以高效地进行如下操作。不过需要注意并查集虽然可以进行合并操作，但是无法进行分割操作。

• 查询元素a和元素b是否属于同一组。

• 合并元素a和元素b所在的组。

2. 并查集的结构

并查集也是使用树形结构实现。不过，不是二叉树。

每个元素对应一个节点，每个组对应一棵树。在并查集中，哪个节点是哪个节点的父亲以及树的形状等信息无需多加关注，整体组成一个树形结构才是重要的。

3. 代码

/*
6
1 1
2 1
5 1
6 6 
4 6
7 4
*/
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 100;
int par[maxn];     //父亲,  当par[x] = x时,x是所在的树的根
int Rank[maxn];    //树的高度

//初始化n个元素
void init(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        par[i] = i;
        Rank[i] = 0;
    }
}

//查询树的根
int find(int x) {
    if (par[x] == x) {
        return x;
    }
    else {
        return par[x] = find(par[x]);
    }
}

//合并x和y所属集合
void unite(int x, int y) {
    x = find(x);
    y = find(y);
    if (x == y) return;
    
    if (Rank[x] < Rank[y]) {
        par[x] = y;
    } else {
        par[y] = x;
        if (Rank[x] == Rank[y]) Rank[x]++;    //如果x,y的树高相同,就让x的树高+1
    }
}

//判断x和y是否属于同一个集合
bool same(int x, int y) {
    return find(x) == find(y);
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    init(n);

    int data, p;
    cout << "输入数据: \n";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &data, &p);
        par[data] = p;
        Rank[p]++;
    }

    cout << "输入合并集合: \n";
    int p1, p2;
    cin >> p1 >> p2;
    unite(p1, p2);
    cout << "查询是否属于一个集合: \n";
    cin >> p1 >> p2;

    if (same(p1, p2)) {
        puts("same");
    }
    else {
        puts("diff");
    }

    return 0;
}

4. 实例

食物链(POJ 1182)

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 67690		Accepted: 20010

Description

动物王国中有三类动物A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A吃B， B吃C，C吃A。 现有N个动物，以1－N编号。每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。 有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述： 

• 第一种说法是"1 X Y"，表示X和Y是同类。 

• 第二种说法是"2 X Y"，表示X吃Y。 

此人对N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出K句话，这K句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。 1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话； 2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话； 3） 当前的话表示X吃X，就是假话。 你的任务是根据给定的N（1 <= N <= 50,000）和K句话（0 <= K <= 100,000），输出假话的总数。 

Input

第一行是两个整数N和K，以一个空格分隔。 以下K行每行是三个正整数 D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中D表示说法的种类。 若D=1，则表示X和Y是同类。 若D=2，则表示X吃Y。

Output

只有一个整数，表示假话的数目。

Sample Input

100 7

1 101 1 

2 1 2

2 2 3 

2 3 3 

1 1 3 

2 3 1 

1 5 5 

Sample Output

 3

Source

Noi 01

解析

由于N和K 很大，所以必须高效地维护动物之间关系，并快速判断是否产生了矛盾。并查集是维护“属于同一组”的数据结构，但是本题中，并不是只有属于同一类的信息，还有捕食关系的存在。因此需要思考如何维护这些关系。

对于每只动物i创建3个元素 i - A, i - B, i - C, 并用这3 x N个元素建立并查集。这个并查集维护如下信息:

• i-x表示 “i属于种类x"

• 并查集里每个组表示组内所有元素代表的情况都同时发生或不发生。

例如：如果i-A和j-B在同一个组里，就表示如果i属于种类A那么j一定属于种类B，如果i属于种类B那么j一定属于种类A。因此，得出下面的操作。

• 第一种，x和y属于同一种类·······合并x-A和y-A、x-B和y-B、x-C和y-C。

• 第二种，x吃y······························合并x-A和y-B、x-B和y-C、x-C和y-A。

不过在合并前，需要先判断合并是否会产生矛盾。例如在第一种信息的情况下，需要检查(x-A, y-B) ||(x-A, y-C)是否在同一组等。

代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn = 100000 * 3 + 500;
//输入(T是信息的类型)
int N, K;           //N-N种类, K-K条信息
int T[maxn], X[maxn], Y[maxn];

//在这里省略了并查集部分代码
int par[maxn];
int Rank[maxn];
void solve();
void init(int n);
int find(int x);
void unite(int x, int y);
bool same(int x, int y);

void init(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        par[i] = i;
        Rank[i] = 0;
    }
}

//查询树根
int find(int x)
{
    if (par[x] == x) {
        return x;
    }
    else {
        return par[x] = find(par[x]);
    }
}

//合并x和y所属的集合
void unite(int x, int y)
{
    x = find(x);
    y = find(y);
    if (x == y) return;

    if (Rank[x] < Rank[y]) {
        par[x] = y;
    }
    else {
        par[y] = x;
        if (Rank[x] == Rank[y]) Rank[x]++;
    }
}

bool same(int x, int y) {
    return find(x) == find(y);
}
void solve()
{
    //初始化并查集
    //元素x, x + N, x + 2 * N 分别代码 x-A, x-B, x-C
    init(N * 3);

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < K; i++) {
        int t = T[i];
        int x = X[i] - 1, y = Y[i] - 1; //把输入变成0,...N-1的范围

        //不正确的编号
        if (x < 0 || N <= x || y < 0 || N <= y) {
            ans++; continue;
        }
        
        if (t == 1) {
            // "x和y属于同一类"的信息
            if (same(x, y + N) || same(x, y + 2 * N)) {
                ans++;
            }
            else {
                unite(x, y);
                unite(x + N, y + N);
                unite(x + N * 2, y + N * 2);
            }
        }
        else {
            //"x吃y"的信息
            if (same(x, y) || same(x, y + 2 * N)) {  //A和A，A和C不能相等
                ans++; 
            }
            else {
                unite(x, y + N);         
                unite(x + N, y + 2 * N);
                unite(x + 2 * N, y);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
}
int main()
{
    cin >> N >> K;
    for (int i = 0; i < K; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &T[i], &X[i], &Y[i]);
    }
    solve();
    return 0;
}