2019 华南理工大学“三七互娱杯”程序设计竞赛 解题报告

Problem B:HRY and codefire （概率 DP）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/874/A

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  题意：有两个初始等级为0的账号打题，开局任选一账号。每一次答题，若AC一题该账号升一级，且下一轮继续使用当前账号。反之，当前账号不降级，下一轮使用另一个账号。如此反复，直到其中一个账号达到n级，结束打题。现已知任一账号在等级为 i 的胜率为 p_i ，求达成结束打题条件的期望局数。

  题解：1.状态设定；设dp(i,j)的状态为当前账号的等级分别为 i 、 j，且下一轮使用等级为 i 的账号达到 n 级所需的期望局数。

　　　  2.初始化；毫无疑问，任一账号达到 n 级后就不需要再继续打题了，所以用 dp(i,n) = dp(n,i) = 0 （0 <= i < n）来表示任一账号达到 n 级时，另一账号无论多少级，所需的期望局数都为0。

　　　  3.状态转移方程；对于dp(i,j)，我们所需的期望局数为【当前进行的这一局】+ p_i【赢了后的期望局数】 + (1-p_i)【输了后的期望局数】，即1 + p_i*dp(i+1,j) + (1-p_i)*dp(j,i)

　　　  4.计算；两个循环求出 dp(i,j)、dp(j,i)，最后 dp(0,0)即为我们要知道的结果。这里需要注意的是上面的式子存在环，需要用换元法得到可以直接使用的式子。

 

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int main() {
    int t;
    scanf("%d",&t);
     
    while (t--) {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        double p[n];
        for (int i=0;i<n;i++) {
            scanf("%lf",&p[i]);
        }
        double dp[n+1][n+1];
        for (int i=0;i<=n;i++) {
            dp[n][i] = dp[i][n] = 0;
        }
         
        for (int i=n-1;i>=0;i--) {
            for (int j=n-1;j>=0;j--) {
                dp[i][j] = (1.0 + p[i]*dp[i+1][j] + (1.0-p[i])*(p[j]*dp[j+1][i] + 1.0)) \
                    / (1.0 - (1.0-p[i])*(1.0-p[j]));
                dp[j][i] = (1.0 + p[j]*dp[j+1][i] + (1.0-p[j])*(p[i]*dp[i+1][j] + 1.0)) \
                    / (1.0 - (1.0-p[i])*(1.0-p[j]));;
            }
        }
         
        printf("%.4f\n",dp[0][0]);
    }
     
    return 0;
}