115. 不同的子序列， 大彻大悟

✅做题思路or感想

这道困扰我一刷好久的题终于在二刷的今天彻底理解了，通透啊！

这道题的难点在于递推公式和初始化

首先可以把题目按照自己的意思更大白话的复述一遍

• 题面：找 s的子序列中t出现的次数
• 复述：在s中挑选字符来组成t，求这个操作有几种方法

dp数组含义

dp[i][j]表示[0, i - 1]和[0, j - 1]的区间上的挑选字符使之匹配的方法个数

💡递推公式

这里从最后一步开始思考。以s = baba，t = ba为例子，当最后一个字符a相同时，有两种选择（从最后一步思考）

• s最后一位可以把t的最后一位匹配掉，则下一步要缩短匹配范围，去匹配bab 和b，即有dp[i - 1][j - 1]
• 因为s是长的一方，s里面除了最后一位外可能还有其他的a和t的最后一位a匹配，所以这里放弃s的最后一位，缩短s的搜索范围继续匹配t的最后一位，所以有dp[i - 1][j]
• 最后因为求的是方法数，所以要把这两种可能都加起来，故有dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]

而当s最后一个字符匹配不掉t的最后一个字符，则s再向后面匹配便是了，故有dp[i][j] = dp[i - 1][j]

综上

if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]	//s[i - 1]匹配掉了t[j - 1]
        + dp[i - 1][j];	//s[i - 1]没有匹配掉t[j - 1]
} else {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j];	//s[i - 1]没有匹配掉t[j - 1]
}

初始化

这种字符串问题的初始化一定要联想两边是空字符串的时候的情况

• s是空字符串时，从s中挑不出字符组成t，所以这种情况的方法数为0，即是dp[0][j] = 0。而例外就是如果t也是空字符串，则有一种方法可以让他们匹配：什么也不做（认真），所以dp[0][0] = 1，这点特别重要
• t是空字符串时，从s中挑字符组成t只有一种方法：什么也不做（认真），所以这种情况的方法数为1，即dp[i][0] = 1

遍历顺序

从递推公式知从小推大，故正序遍历

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        //这里注意测试用例里有超出int范围的例子，所以这里扩大一下范围，选用unsigned int
        vector<vector<unsigned>>dp (s.size() + 1, vector<unsigned>(t.size() + 1, 0));
        //初始化dp[i][0] = 1的情况，另一种情况在创建数组的时候就默认为0了，所以不用再用一个for来初始化
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= s.size(); ++i) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); ++j) {
                //两种情况
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

这一题能理解透彻真的不容易，大彻大悟的感觉就是舒服