欧几里得/拓展欧几里得

最大公约数gcd()

inline int gcd(int a,int b){return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}

 

最小公倍数lcm()

inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}

 

拓展欧几里得exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

作用：快速求整数x，y使得ax+by=gcd(a,b)

部分参考：扩展欧几里得算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}///递归写法
///复制自百度

 

int exgcd( int a,int b, int &x, int &y )
{
    int r = a % b;
    int x0, y0, x1, y1;
    x0 = 1; y0 = 0;
    x1 = 0; y1 = 1;
    x = x1, y = y1;
    while( r )
    {
        x = x0 - a / b * x1;
        y = y0 - a / b * y1;
        x0 = x1;
        y0 = y1;
        x1 = x;
        y1 = y;
        a = b;
        b = r;
        r = a % b;
    }
    return b;
}//循环写法
//复制自简书
//不太理解exgcd，还没有验证

 题目：virtual judge

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欧几里得的几个定理：
定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使 d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

　　证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，

　　即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。

　　所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

　　如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令m = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，

　　所以用x = (X % m + m) %m就可以求出最小非负整数解x了！（X % m可能是负值，此时保持在[-(m-1), 0]内，

　　正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2m-1]内，所以再模一下r就在[0, m-1]内了）。

　　那么什么时候无解呢？仔细想想…….那就是： c=k*d =[ a*x+ b*y ]*k So 当c是d=gcd(a,b)的约数时候，就有唯一解！
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原文：https://blog.csdn.net/u010579068/article/details/44681075

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inline 表示是内联函数，就是在类内部展开，调用时没有入栈和出栈的过程，比较便捷

当一个函数需要经常使用，而且该函数的语句较少时，可以考虑使用内联函数

参考：inline用法详解