学习笔记：简单数论
数论是用来研究整数的性质的。
- 整数集 \(Z: \{..-2, -1, 0, 1, 2...\}\)
- 自然数集\(N:\{0, 1, 2, 3,4 ...\}\)
整除：
存在整数 \(k\)，使得\(a = kd\)，则称\(d | a\)（\(d\) 整除 \(a\)）。
- \(d\)为\(a\)的约数，\(a\)为\(d\)的倍数。
- 任何数都是\(0\)的约数。
公约数
存在一个整数\(d\)，使得\(d\ |\ x, d\ |\ y\)，则\(d\)为\(x, y\)的公约数。
最大的一个称之为最大公约数，记作\(gcd(x, y)\)。
几个推论
- 若\(d\ |\ a, d\ |\ b\)，则\(d\ |\ ax + by\)，其中\(a, b\)均为整数。
- \(gcd(xn, yn) = n * gcd(x,\ y)\)
- 若\(n\ | xy\) 且\(gcd(n, x) = 1\)，则\(n\ |\ y\)。
gcd(a, b) 为 ax + by 的最小正整数线性组合
证明：
设 \(s\) 为 \(ax + by\) 是最小正整数的线性组合
由之前的\(2\)推论可得，\(s | a, s | b\)，即\(gcd(a, b) <= s\)
① \(a \% s = a - \lfloor \frac{a}{s} \rfloor * s\)
设\(q = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor\)
① = \(a - q(ax + by) = a(1 - qx) + b(-qy)\)
因$0 <= a\ %\ s < s \(。又\)s$为最小正整数解
所以① \(=\ a \% s = 0\)，即\(s\ |\ a\)。
同理\(s\ |\ b\)。
所以\(s <= gcd(a, b)\)。
由第一步的\(gcd(a, b) <= s\)。我们得到：
\(s = gcd(a, b)\)
素数定理
\([1, N]\)中素数的个数约为\(\frac{N}{lgN}\)。则从\([1, N]\)中人选一个数，其为质数的概率为\(\frac{1}{lgN}\)。
素数的判断
试除法：\(O(\sqrt{n})\)
原理：约数成对出现（完全平方数除外）
算数基本定理
任意一个整数都能被分解为如下形式：
\(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_t}\)。其中\(p\)为质数。
\(t, \sum_{i = 1}^{t}k_i\)都是\(logn\)量级的。
欧拉函数
\(φ(n)\)表示小于等于\(n\)中与\(n\)互质的数的个数
\(φ(n) = n\prod_{p | n}(1 - \frac{1}{p})\) 其中\(p\)为质因子。
用质因子的方法，\(O(\sqrt{n})\)算出一个数的欧拉函数：
int phi = x;
for(int j = 2; j * j <= x; j++){
if(x % j == 0){
phi = phi / j * (j - 1);
while(x % j == 0) x /= j;
}
}
if(x > 1) phi = phi / x * (x - 1);
\(O(n)\)用线性筛\([1, n]\)内所有\(φ\)值
大概长这样：
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
if(!st[i]) primes[tot++] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 0; i * primes[j] <= n; j++){
st[primes[j] * i] = true;
if(i % primes[j] == 0){
phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i];
break;
}
phi[primes[j] * i] = (primes[j] - 1) * phi[i];
}
}
原理：质数\(p\)的欧拉函数为\(p - 1\)。线性递推即可。
扩展欧几里得
原理：裴蜀定理
扩展欧几里得算法可以\(O(loga)\)的时间算出：
\(ax + by = gcd(a, b) (a, b > 0)\)的一组解。
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(b == 0){
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
原理：递推
\(ax + by = b x_0 + (a \% b)y_0)\)
已知\(a, b, x_0, y_0\)，求\(x, y\)。
$ = b x_0 + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * b)y_0)$
$ = ay_0 + b(x_0 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * y_0)$
通解
设\(d = gcd(a, b)\)，扩展欧几里得算法求出的是\(ax_0 + by_0 = d\)，则：
- \(x = x_0 + k\frac{b}{d}\)
- \(y = y_0 + k\frac{a}{d}\)
其中\(k\)为任意整数。
\(x, y\)的分布规律可看做一条一次函数：
正整数解：\(x, y >= 0\)。
若我们想正整数解（\(x, y >= 0\)）中\(x\)的最小值，只需\(\% \frac{b}{d}\)，但是\(C++\)中会膜成负数和\(0\)，所以还需要特判：
- \(x = (x0\ \% \frac{b}{d} + \frac{b}{d}) % \frac{b}{d}\)
- \(if\ x == 0\ then\ x += \frac{b}{d}\)
此时对应的\(y\)即正整数解范围内的\(y\)最大值，想判断其是否存在正整数解，只需判断对应的\(y > 0\)即可。
求\(y\)的最小值与\(x\)的最大值同理。
在正整数解内分布个数
先搞到\(x\)的最小正整数解\(x0\)，此时对应的\(y0 = (d - ax0) / b\)
那么考虑其实是可以往下等距缩，即：
\(cnt = \lceil y0 /\frac{a}{d} \rceil\)
一般套路
亦或是同余方程，还是其他玩意，你可以转化为：
\(ax + by = c\)。
此时先把\(d = ax + by = gcd(a, b)\)的\(x, y\)用扩展欧几里得算出来。
- 若\(c \% d \not= 0\) 无解
- 否则，把对应的\(x, y\)都扩大\(c / d\)倍，可以就按照刚才的来做啦。
\(O(n)\)预处理\([1, n]\)内所有数的阶乘及其逆元
因为\((i!)^{-1} = \frac{1}{i!} = \frac{i + 1}{(i+ 1)!}\)
所以先把\(infact_n\)算出后，得到递推公式：
\(infact_i = infact_{i + 1} * (i + 1)\)
组合数
把杨辉三角搞出来以后有一些奇怪的规律。
- 自左上（顶端）向右下一连串的和\(=\)其最右端再往下一个的值
- 一列的总和\(=\)最下端右下角的值
