学习笔记:简单数论

数论是用来研究整数的性质的。

  • 整数集 \(Z: \{..-2, -1, 0, 1, 2...\}\)
  • 自然数集\(N:\{0, 1, 2, 3,4 ...\}\)

整除:

存在整数 \(k\),使得\(a = kd\),则称\(d | a\)\(d\) 整除 \(a\))。

  • \(d\)\(a\)的约数,\(a\)\(d\)的倍数。
  • 任何数都是\(0\)的约数。

公约数

存在一个整数\(d\),使得\(d\ |\ x, d\ |\ y\),则\(d\)\(x, y\)的公约数。

最大的一个称之为最大公约数,记作\(gcd(x, y)\)

几个推论

  1. \(d\ |\ a, d\ |\ b\),则\(d\ |\ ax + by\),其中\(a, b\)均为整数。
  2. \(gcd(xn, yn) = n * gcd(x,\ y)\)
  3. \(n\ | xy\)\(gcd(n, x) = 1\),则\(n\ |\ y\)

gcd(a, b) 为 ax + by 的最小正整数线性组合


证明:

\(s\)\(ax + by\) 是最小正整数的线性组合

由之前的\(2\)推论可得,\(s | a, s | b\),即\(gcd(a, b) <= s\)

\(a \% s = a - \lfloor \frac{a}{s} \rfloor * s\)

\(q = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor\)

① = \(a - q(ax + by) = a(1 - qx) + b(-qy)\)

因$0 <= a % s < s \(。又\)s$为最小正整数解

所以① \(=\ a \% s = 0\),即\(s\ |\ a\)

同理\(s\ |\ b\)

所以\(s <= gcd(a, b)\)

由第一步的\(gcd(a, b) <= s\)。我们得到:

\(s = gcd(a, b)\)


素数定理

\([1, N]\)中素数的个数约为\(\frac{N}{lgN}\)。则从\([1, N]\)中人选一个数,其为质数的概率为\(\frac{1}{lgN}\)

素数的判断

试除法:\(O(\sqrt{n})\)

原理:约数成对出现(完全平方数除外)

算数基本定理

任意一个整数都能被分解为如下形式:

\(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_t}\)。其中\(p\)为质数。

\(t, \sum_{i = 1}^{t}k_i\)都是\(logn\)量级的。

欧拉函数

\(φ(n)\)表示小于等于\(n\)中与\(n\)互质的数的个数

\(φ(n) = n\prod_{p | n}(1 - \frac{1}{p})\) 其中\(p\)为质因子。

用质因子的方法,\(O(\sqrt{n})\)算出一个数的欧拉函数:

int phi = x;
for(int j = 2; j * j <= x; j++){
    if(x % j == 0){
            phi = phi / j * (j - 1);
            while(x % j == 0) x /= j; 
        }
}
if(x > 1) phi = phi / x * (x - 1);

\(O(n)\)用线性筛\([1, n]\)内所有\(φ\)

大概长这样:

phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
    if(!st[i]) primes[tot++] = i, phi[i] = i - 1;
    for(int j = 0; i * primes[j] <= n; j++){
        st[primes[j] * i] = true;
        if(i % primes[j] == 0){
            phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i];
            break;
        }
        phi[primes[j] * i] = (primes[j] - 1) * phi[i];
    }
}

原理:质数\(p\)的欧拉函数为\(p - 1\)。线性递推即可。

扩展欧几里得

原理:裴蜀定理

扩展欧几里得算法可以\(O(loga)\)的时间算出:

\(ax + by = gcd(a, b) (a, b > 0)\)的一组解。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

原理:递推

\(ax + by = bx_0 + (a \% b)y_0)\)
已知\(a, b, x_0, y_0\),求\(x, y\)
$ = bx_0 + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * b)y_0)$
$ = ay_0 + b(x_0 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * y_0)$
------

通解

\(d = gcd(a, b)\),扩展欧几里得算法求出的是\(ax_0 + by_0 = d\),则:

  • \(x = x_0 + k\frac{b}{d}\)
  • \(y = y_0 + k\frac{a}{d}\)

其中\(k\)为任意整数。


\(x, y\)的分布规律可看做一条一次函数:

正整数解:\(x, y >= 0\)

若我们想正整数解(\(x, y >= 0\))中\(x\)的最小值,只需\(\% \frac{b}{d}\),但是\(C++\)中会膜成负数和\(0\),所以还需要特判:

  • \(x = (x0\ \% \frac{b}{d} + \frac{b}{d}) % \frac{b}{d}\)
  • \(if\ x == 0\ then\ x += \frac{b}{d}\)

此时对应的\(y\)即正整数解范围内的\(y\)最大值,想判断其是否存在正整数解,只需判断对应的\(y > 0\)即可。

\(y\)的最小值与\(x\)的最大值同理。

在正整数解内分布个数

先搞到\(x\)的最小正整数解\(x0\),此时对应的\(y0 = (d - ax0) / b\)

那么考虑其实是可以往下等距缩,即:

\(cnt = \lceil y0 /\frac{a}{d} \rceil\)

一般套路

亦或是同余方程,还是其他玩意,你可以转化为:

\(ax + by = c\)

此时先把\(d = ax + by = gcd(a, b)\)\(x, y\)用扩展欧几里得算出来。

  • \(c \% d \not= 0\) 无解
  • 否则,把对应的\(x, y\)都扩大\(c / d\)倍,可以就按照刚才的来做啦。

\(O(n)\)预处理\([1, n]\)内所有数的阶乘及其逆元

因为\((i!)^{-1} = \frac{1}{i!} = \frac{i + 1}{(i+ 1)!}\)

所以先把\(infact_n\)算出后,得到递推公式:

\(infact_i = infact_{i + 1} * (i + 1)\)

组合数

把杨辉三角搞出来以后有一些奇怪的规律。

  1. 自左上(顶端)向右下一连串的和\(=\)其最右端再往下一个的值

  1. 一列的总和\(=\)最下端右下角的值

posted @ 2019-10-09 18:10 DMoRanSky 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏