数学符号

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数域#

$R$ ：实数
$Z$ ：整数
$C$ ：复数
$Q$ ：有理数

空间#

$R^{n}$ ：n维实数
$Z^{n}$ ：n维整数
$C^{n}$ ：n维复数
$Q^{n}$ ：n维有理数

集合#

$Z^{+}$ ：正整数
$R^{+}$ ：非负实数
$Z_{q}, q \geq 1$ ：商环 $Z / q Z$
$[n]$ ：表示 $1, . . ., n$
$A / B$ ：B在A上的补集
$| B |$ ：集合B中元素的个数
$l o g$ ：以2为底
$M^{T}$ ：向量/矩阵的转置

区间#

（1）对于 $x, y \in R$ ，其中 $y > 0$ ， $⌊ x ⌋$ 表示小于 $x$ 的最大整数， $x m o d y = x - ⌊ x / y ⌋ y$
（2） $⌈ x ⌋ = ⌊ x + 1 / 2 ⌋$

范数#

（1）欧式范数（ $l_{2}$ 范数）
向量： $| | v | | = (\sum_{i} v_{i}^{2})^{1 / 2}$
矩阵： $| | M | | = m a x_{i} | | m_{i} | |, m_{i}$ 是 $M$ 的第 $i$ 列

分布采样#

（1）D表示集合S上的一个概率分布， $x \leftarrow D$ 表示根据概率D采样 $x \in S$
（2） $U (S)$ ：S上的均匀分布
（3）若D是一个概率算法，使用 $y \leftarrow D (x)$ 表示在输入x上运行算法D，最后赋值 $D (x)$ 到输出y上

最小熵(min entropy)#

这里 $X$ 是集合中的分布还是元素？

复杂度#

符号表示#

1、 $Θ$ 符号

读音：theta、西塔；既是上界也是下界(tight)，等于的意思。

是大 $O$ 符号和大 $Ω$ 符号的结合
2、 $O$ 符号

读音：big-oh、欧米可荣（大写）；表示上界(tightness unknown)，小于等于的意思。

是用于描述函数渐近行为的数学符号,更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。
3、 $o$ 符号

读音：small-oh、欧米可荣（小写）；表示上界(not tight)，小于的意思。

4、 $Ω$ 符号

读音：big omega、欧米伽（大写）；表示下界(tightness unknown)，大于等于的意思。

与大 $O$ 符号的定义类似，但主要区别是，大 $O$ 符号表示函数在增长到一定程度时总小于一个特定函数的常数倍，大 $Ω$ 符号则表示总大于，来描述一个函数数量级的渐近下界。
5、 $w$ 符号

读音：small omega、欧米伽（小写）；表示下界(not tight)，大于的意思。

下面是具体定义：

渐进标准#

其中 $\tilde{O} (n)$ 表示忽略了poly因子的复杂度

多项式的(polynomial)#

对于某个常数 $c$ ，若 $f (n) = O (n^{c})$ ，则称 $f (n)$ 关于n是多项式的，记为 $p o l y (n)$ 。

可忽略的(hegligible)#

对于任意常数 $c$ ，有 $f (n) = o (n^{- c})$ ，则称 $f (n)$ 关于n是可忽略的，记为 $n e g l (n)$

若一个事件以至少 $1 - n e g l (n)$ 的概率发生，则称这件事发生的概率是压倒性的（overwhelming）

语义安全#

（1） $A D V_{Y}^{X}$ ：算法 $A$ 在攻击基于安全定义 $X$ 的方案 $Y$ 时的优势，可简写为 $A D V (A)$
（2）统计不可区分

若 $Δ (D_{1}, D_{2}) \leq n e g l (n)$ ，则称 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 是统计不可区分的，表示 $D_{1} \approx_{s} D_{2}$ 。
（3）计算不可区分
对于任意可区分分布 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 的概率多项式时间（PPT）算法A，若 $| P r [A (1^{n}, D_{1}) = 1] - P r [A (1^{n}, D_{2}) = 1] | \leq n e g l (n)$ ，则称 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 是计算不可区分的，表示 $D_{1} \approx_{c} D_{2}$
（4）分布不可区分