循环不变量证明循环正确性的简单理解("Introduction to Algorithms"笔记一)

要证明循环正确，必须在以下三个环节中，考虑 循环不变量的真假。

循环初始状态：在所有循环体执行前，循环不变量成立。

循环进行时：如果在一个循环体开始执行之前，不变量成立，那么在下一个循环体执行之前，不变量仍然成立。

循环终结后：当整个循环结束时，不变量可以直接说明算法的正确性。

以Insertsort为例，要证明其外循环的正确性。

INSERTION-SORT(A)
1  for j ← 2 to length[A]
2       do key ← A[j]
3          ▹ Insert A[j] into the sorted sequence A[1 ‥ j - 1].
4          i ← j - 1
5          while i > 0 and A[i] > key
6              do A[i + 1] ← A[i]
7                 i ← i - 1
8          A[i + 1] ← key

 

首先，用语言来描述本例的“循环不变量”——循环指针j之前，即A[1....j-1]这一部分，是 已经确认为有序的部分。

初始状态： j为2时，A[1...j-1] 就是 A[1]，明显有序。不变量成立

进行时：我们来判断，每一步循环体执行后，A[1...j-1]是否仍然有序。 （过程略）每轮循环体执行后，不变量保持成立。

循环结束后：j此时为n+1, A[1....j-1]为A[1....n]，即整个数组，根据以上两条，不变量至此仍然是成立的，即整个数组为有序状态，达到算法预期的目的，可以判断循环正确！