题解 P7169 [eJOI2020 Day1] Exam

传送门。

题意

有两个长度为 \(N\) 的数列 \(A_i\)，\(B_i\)。可以对 \(A\) 数组进行若干次操作，每次可以使 \(A_i\) 到 \(A_j\) 中的所有数变成期间的最大值，求最多能使多少个数满足要求。

分析

显然，要使我们的某一个 \(A_x\) 变成 \(B_x\)，至少会包含 \(A_{L_x}\) 或 \(A_{R_x}\)，\(L_x\) 是 \(x\) 左侧（包括自己）的与 \(B_x\) 相等的第一个的下标，\(R_x\) 是 \(x\) 右侧（包括自己）的与 \(B_x\) 相等的第一个的下标。

但是这还有一个条件，那就是 \(L_x\sim i\) 之间没有大于 \(B_x\) 的数字，\(R_x\) 相似。

解决了 \(L_x\) 与 \(R_x\) 的计算，我们借用这两个数组来解决我们的答案。

形象化的，我们将某一组操作变成一条线段。由上方点 \(i\) 连向下方 \(L_i\) 或 \(R_i\) 的一条边。

并且线与线之间不能相交。

由此，我们可以定义一个数组，\(f_{i,j}\) 表示上方到达 \(i\) 点，下方到达 \(j\) 点的最多条数。

可以得到转移式：\(f_{i,j}= {\textstyle \max_{k=1}^{k\le j} f_{i-1,k}} +1\)。

我们可以利用树状数组来解决。

Code。

#include <bits/stdc++.h>
#include <vector>
//#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
inline int read() {
	int x;
	scanf("%d",&x);
	return x;
}
int n, m,a[N],b[N],num[N],L[N],R[N],st[N][20],lg[N];
inline void lsh() {
	int cnt=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) num[++cnt]=a[i];
	for(int i=1; i<=n; ++i) num[++cnt]=b[i];
	sort(num+1,num+cnt+1);
	cnt=unique(num+1,num+cnt+1)-num-1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) a[i]=lower_bound(num+1,num+cnt+1,a[i])-num;
	for(int i=1; i<=n; ++i) b[i]=lower_bound(num+1,num+cnt+1,b[i])-num;
}

vector<int > pos[N];
struct Bit {
	int c[N+2];
	inline int lowbit(int x) {
		return x&-x;
	}

	inline void change(int x,int y) {
		for(int i=x; i<=N; i+=lowbit(i)) c[i]=max(c[i],y);
	}

	inline int query(int x) {
		int tot=0;
		for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) tot=max(tot,c[i]);
		return tot;
	}
} bit;

inline int query(int l,int r) {
	return max(st[l][lg[r-l+1]],st[r-(1<<lg[r-l+1])+1][lg[r-l+1]]);
}

signed main() {
	n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) a[i]=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) b[i]=read();
	lsh();
	for(int i=1; i<=n; ++i) st[i][0]=a[i];
	for(int i=2; i<N; ++i) lg[i]=lg[i/2]+1;
	for(int i=1; i<20; ++i) for(int j=1; j+(1<<i)-1<=n; ++j) st[j][i]=max(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
	for(int i=1; i<=n; ++i) pos[a[i]].push_back(i);
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		if(b[i]<a[i]) continue;
		L[i]=upper_bound(pos[b[i]].begin(),pos[b[i]].end(),i)-pos[b[i]].begin()-1;
		if(L[i]>=0) L[i]=pos[b[i]][L[i]];
		else L[i]=0;
		if(L[i]&&query(L[i],i)>b[i]) L[i]=0;
		R[i]=lower_bound(pos[b[i]].begin(),pos[b[i]].end(),i)-pos[b[i]].begin();
		if(R[i]<pos[b[i]].size()) R[i]=pos[b[i]][R[i]];
		else R[i]=0;
		if(R[i]&&query(i,R[i])>b[i]) R[i]=0;
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		int l=bit.query(L[i]),r=bit.query(R[i]);
		if(R[i]) bit.change(R[i],r+1);
		if(L[i]) bit.change(L[i],l+1);
	}
	cout<<bit.query(n);
	return 0;
}