图论总结

题单。

树

最近公共祖先（LCA）

这是树上一个重要的点，分为三种方式。

倍增

这是最常用的一种方法，因为倍增的良好性质，我们可以在 \(\log n\) 级别的时间复杂度下解决该问题，并且同时可以维护许多树链上的指定长度的问题，延展性极佳。

tarjan

使用 tarjan，是在离线下，以 \(O(n)\) 的时间复杂度，使用并查集，解决若干 LCA 问题，但是由于其需要离线的性质，因此并不常用，仅在需要优化大量 LCA 时会考虑使用。

欧拉序+ST 表

以 \(O(n)\) 的时间复杂度，处理出树的欧拉序以及在 \(O(n\log n)\) 的复杂度下，处理出 ST 表，维护区间最小值，以及其 \(id\)。

树链剖分

树链剖分的常规操作，常数较小。

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树链剖分

分为重链剖分，长链剖分，多为重链剖分。

树上每个节点都属于且仅属于一条重链。一颗子树内的 DFS 序是连续的。

可以发现，当我们向下经过一条轻边时，所在子树的大小至少会除以二。

因此，对于树上的任意一条路径，把它拆分成从 LCA 分别向两边往下走，分别最多走 \(O(\log n)\) 次，因此，树上的每条路径都可以被拆分成不超过 \(O(\log n)\) 条重链。

由于每一条重链的 \(dfs\) 序是连续的，因此，我们常用线段树的区间修改，查询解决问题。

题目多可在序列上用线段树解决，转化为树上时即可用树链剖分，以 \(O(n\log^2n)\) 的时间复杂度。

树上启发式合并（DSU）

DSU 运用了重儿子的性质，用一种相对暴力的方法，以 \(n\log n\) 的时间复杂度解决。
具体流程：

1. 先遍历 \(u\) 的轻（非重）儿子，并计算答案，但不保留遍历后它对 \(cnt\) 数组的影响；
2. 遍历它的重儿子，保留它对 \(cnt\) 数组的影响；
3. 再次遍历 \(u\) 的轻儿子的子树结点，加入这些结点的贡献，以得到 \(u\) 的答案。

树上差分

树上差分可以维护树上路径的修改，并且时间复杂度为优秀的 \(O(n)\)。

将路径分为两段 \(u \to lca\) 与 \(v \to lca\)，用类似于差分的方式修改。

最后答案统计子树的总和即可。

点分治

对于树径上的

图

拓扑排序

拓扑排序可以应用于有向无环图上的树形 DP，以及处理其上的前后影响问题。
可用于节点间有有向的影响的题目。

最小生成树

最小生成树就是一张图的边权和最小的生成树。
最小生成树可以使用：

Prim 算法

使用贪心为主要思想，不断添加节点，类似于一个迪杰斯特拉。

Kruskal 算法

以边为中心，逐条边判断是否可以加入，有使用一定程度上的贪心，实现上使用并查集实现。

Kruskal 重构树

将整个最小生成树以边为节点重构，做法类似于哈夫曼树。
同时在重构树上跑 LCA，可以在 $\log $ 的时间复杂度下解决两点之间路径的最大值或最小值（若用 tarjan 跑 LCA 可至 \(O(n)\)，用 ST 表预处理，每个查询 \(O(1)\)）。

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最短路

即为求两点之间最短路径。
在边权相近时，可以使用 bfs（时间复杂度：\(n\)）。
在负权时，我们可以使用 spfa，（时间复杂度：\(n\log n\sim n^2\)）
在正常情况下，使用 Dijkstra ，（不加堆优化 \(O(n^2)\)，堆优化时间复杂度：\(m\log m\)）。
在全源最短路下，方便的使用 Floyd 。
时间有约束，使用 n 遍迪杰斯特拉。
有负权边：Johnson。

以至于，我们可以用最短路树来维护复杂一点的问题。
用矩阵形式 floyd 实现求 \(k\) 步方案。

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连通分量（Tarjan）

膜拜tarjan。
点双，边双，强连通分量。
考法（摘自大佬pdf）：

• 点双连通分量 $\Rightarrow $ 圆方树 $\Rightarrow $ 相关树上算法
• 边双连通分量 $\Rightarrow $ 树 $\Rightarrow $ 相关树上算法
• 强连通分量 $\Rightarrow $ DAG $\Rightarrow $ DAG 上动态规划（多为拓扑排序）。

tarjan 多应用于连通型问题，在缩点后以及转化为圆方树后的树形结构适用于多种解法。

2-SAT

算是 tarjan 底下的东西吧，2-SAT 主要适用于一些若干条语句，可能产生矛盾的，并且是双面型的东西。
适用于标准的 2-SAT 模板，以及相似的构造题。

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二分图

二分图是可以将节点分成由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。
二分图有许多优秀的性质，我们多用染色法判断该图是否是一个二分图，使用增广路算法来解决二分图上的最大匹配问题，同时这也是在使用上最频繁的二分图算法。

二分图可以用来解决

1. 二分图上最大匹配问题。
2. 二分图最大权匹配。

二分图不仅仅用于显然的二分图，同时多以用来解决在网格图上的行列上的矛盾，占有问题，并且可以给出其中一组方案。

欧拉路问题

欧拉路亦可称为一笔画问题。

但是我们实际上并不只有一笔画，亦可以多笔画，这需要我们将所有的奇数节点两两匹配、连边，转化成最普通的欧拉回路。

在算法上，多使用 dfs 来解决，并且或是删结尾边，或是提高起始点。

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