题解 CF1059E Split the Tree

洛谷
Codeforces

题意

将一棵 $n$ 个节点的以 1 为根的树拆成若干个链，每条链满足：

1. 点数不超过 $L$。
2. 点权和不超过 $S$。
3. 对于链上的某一位置 $i$（$i\ge 2$），满足 $v_i$ 是 $v_{i-1}$ 的父亲。

求最少分成几个链。特别的，倘若无解，输出 -1。

解决

显然的，我们是从儿子转移到父亲，问题就在于我们父亲节点的选择方式，是再起炉灶，还是承接某一个儿子，又承接哪一个儿子。

想想看，倘若我们将这个树当做一条链，我们应当如何解决。

明显的，我们应该是在能延伸的情况下就尽量延伸，这样我们可以让我们这个新生的节点的末尾更远。

也就是说，当我们在树上时，我们只要有一个儿子能有余地转移，我们就应当承接转移。

接下来的问题在于承接哪一个儿子。

贪心的，我们选择可以延伸更远的那一个儿子的链。

对于处理延伸的长度，我们可以用树上倍增处理，维护 $fa$ 数组与 $sum$ 数组，在处理每个点时，先将自己加上，再从大到小枚举二进制位，倘若满足，立即转移。

总结一下，我们在解决这道题时，我们用倍增维护我们的延伸最远，再在儿子中寻找最远，倘若没有，就从自己再起炉灶。
特殊的，为了判断 -1，我们需要在一开始就判断是否存在一个节点的权值大于 $S$，倘若存在，那我们的答案就是 -1。

核心代码。

inline void redfs(int now,int fath) {
    int u=now,tot=val[now],cnt=0;
    for(int i=19; ~i; --i) {
        if(cnt+(1<<i)+1>L) continue;
        if(tot+sum[u][i]>S) continue;
        cnt+=(1<<i);
        tot+=sum[u][i];
    }
    mx[now]=cnt;
    for(auto to:lj[now]) {
        if(to==fath) continue;
        redfs(to,now);
        sy[now]=max(sy[now],sy[to]-1);
    }
    if(sy[now]==-1) {
        ++ans;
        sy[now]=mx[now];
    }
}